李善兰十岁那年,在父亲的书房里玩耍,翻到了《九章算术》一书,心向往之,“窃取阅之,以为可不学而能,从此遂好算”^[4]。弱冠之年偶遇中译本《几何原本》的前六卷,爱不释手,经过自学而“通其义”^[5]。第一次到杭州参加科举落榜,却偶得古书《测圆海镜》和《勾股割圆记》,尤其对《勾股割圆记》十分感兴趣。此书中记载了原作者提供的九种方法,李善兰在仔细研读后觉得其中几种方法有欠缺,经思考,产生了一些心得。对这些著作的认真研读无疑为其今后对西方科技著作的翻译和对数学的自行研究打下了相当坚实的基础,产生了深远的影响。

鸦片战争过后,李善兰定居浙江,经常与当地的学者交流,探讨一些数学方面的疑难问题,并常常将自己学到的数学知识运用到实际生活中,做到活学活用、触类旁通。在海宁,他参加了“鸳湖吟社”。社友们经常结伴游历,好不欢乐。一次行至东山,李善兰一时兴起,当即问同行的友人可知东山之高,友人们面面相觑,一时语塞。李善兰告诉友人,尽管自己之前从来没有过东山,也没有听说过东山之高,“而唯以勾股形之对应成比之算耳”^[6]。李善兰在向好友们道明了自己用来测算东山高度的数学方法后,好友们将信将疑。后来他们请教了久住东山的樵夫,又翻阅了资料典籍,发现均与李善兰计算出的高度相差无几,不禁暗自钦佩李善兰的数学功底。曾有好友余楙讲述李善兰常“露宿山顶,不顾夜寒,只为测象纬踌次”。这无一不是李善兰运用数学知识于实际的真实写照。

在嘉兴,他结识了知名数学家顾观光、汪日祯等人。汪日祯与李善兰一见如故,并借《四元玉鉴》三卷给李善兰。善兰见之大悦,对该书“深思七昼夜,尽通其法”,著作《四元解》由此写成。^[7]自此,李善兰在江浙地区的数学界声名鹊起。(www.daowen.com)

1851年,其拜访数学家戴煦。戴煦在指数、对数以及无穷级数方面有着很深的造诣,在这些方面李善兰也有自己的研究。两人一见如故,彼此学习,相互探讨,同创共进。李善兰和戴煦在数学方面有着多次的交流。戴煦认为,李善兰所著《对数探源》与自己的著作《对数简法》解法有别但是结论一样。并且赞扬李善兰写的《弧矢启秘》很有新意。^[8]此外戴煦还认为,《外切密率》一书的完成,多亏李善兰的殷勤督促,功不可没。