1）传热模型和围岩热物理参数的确定

隧道开挖、支护过程中洞内气温与围岩温度存在温差，热传导过程既与空间密切相关，又与时间有关，属于有内热源的非稳态传热问题。为方便计算，忽略隧道轴线方向围岩的热量传递，将围岩温度场视为二维非稳态温度场，其热传导方程为（王燕，2007）：

式中　T——任意点的温度（℃）；

　　　k——热导率［W/（m·℃）］；

　　　c——比热容［J/（kg·℃）］；

　　　ρ——密度（kg/m3）；

　　　q（t）——混凝土水化热生热率［J/（m3·s）］。

（1）边界条件和初始条件

第一类边界条件：边界温度T为时间的已知函数。

第二类边界条件：边界热流量为时间的已知函数。

式中　k——热导率［W/（m·℃）］；

　　　n——表面法线方向。

第三类边界条件：边界与空气接触时边界热流量与混凝土表面温度T和气温之差Ta成正比。

式中　h——对流换热系数［W/（m·℃）］。

依托工程勘察冻土段初始地温在－1.0～－0.1℃，围岩实测资料显示，开挖1 d后，距围岩表面2 m深处后围岩温度稳定在－0.7℃；开挖2 d后，距围岩表面2.5 m深处后围岩温度稳定在－0.7℃。因此，围岩初始温度约－0.7℃。计算时围岩初始温度取－0.7℃。

空气与土体和混凝土之间属于第三类边界条件，固体表面与空气的对流换热系数与风速有密切关系。

模型外边界属于第一类边界条件，边界温度为－0.7℃；内边界属于第三类边界条件，围岩、混凝土与空气对流换热，洞内气温按实测数据取值，对流换热系数按下式进行计算（章熙民，2007）：

粗糙表面：

光滑表面：

式中　h——对流换热系数［W/（m·℃）］；

　　　v——风速（m/s）。

围岩、喷射混凝土与空气的对流换热系数按粗糙表面计算，一、二次模筑混凝土与空气的对流换热系数按光滑表面计算，得到内边界与空气对流换热系数见表7—14。

表7—14　对流换热系数h 与风速v 的关系

（2）水泥水化热模型

水泥的水化热是水泥与水发生化学反应而放出的热量，其随着水化反应的进行而逐步产生。水泥水化热的数学模型是描述水化热发展过程的数学表达式，目前常用的不考虑温度对水化过程影响的水泥水化热数学模型为指数型表达式（朱伯芳，1999）。

式中　Q（t）——龄期t时的累积水化热；

　　　t——龄期；

　　　Q0——累积最终发热量；

　　　m——水化系数，m 的取值随水泥品种、比表面及浇筑温度（表7—15）不同而不同。

表7—15　常数m 的取值

目前用得较多的是指数型表达式及复合指数型表达式，经两者试算对比，指数型表达式比较符合实际，故采用指数型表达式进行计算分析。

进行混凝土水化热最终放热量计算，根据混凝土的各个材料的配合比，计算混凝土最终放热量的公式为（Schindler，2003）：

式中　Q0——混凝土水化热最终放热量（kJ）；

　　　qcem——单位重量水泥放热量（kJ/kg），取477 kJ/kg；

　　　pcem——混凝土中水泥重量（kg）；

　　　pslag——混凝土中矿渣重量（kg）；

　　　qFA——单位重量粉煤灰最终放热量（kJ/kg）；

　　　pFA——混凝土中粉煤灰重量（kg）。

2）初期支护对隧道围岩冻融圈的影响规律

热分析采用PLANE55建立有限元计算模型，如图7—24所示。(www.daowen.com)

冻土区隧道施工时，喷射混凝土及模筑混凝土水化热、混凝土入模温度、各施工工序的施工时机都会对围岩的温度场产生不同程度的扰动。因此，有必要弄清楚在不同的施工工况下，围岩温度场及围岩冻融圈具体的变化规律。

图7—24　有限元计算模型

（1）喷射混凝土对围岩温度场的影响

围岩冻融圈随着暴露在空气中的时间的增长而增大，因此开挖多长时间后施做喷射混凝土支护是影响围岩温度场的一个因素。喷射混凝土支护施做后，混凝土水化热释放，在围岩及空气中传递，喷射混凝土支护越厚，放热总量越多，其对围岩温度场的扰动就越大。

喷射混凝土作为柔性支护，在隧道开挖后应尽快施做。在此，取围岩岩性为页岩和凝灰岩，围岩级别为Ⅳ级和Ⅴ级（共6个裂隙率），开挖后8 h、1 d、2 d时施做喷射混凝土支护，混凝土初始温度为5℃，厚度分别为20 cm、25 cm、30 cm，设定围岩初始地温为－0.7℃，风速分别取1.0 m/s，洞内气温为5℃，水泥水化热按式（7—7）进行计算，将初始条件、边界条件、水泥水化热及围岩参数加载至有限元模型中，设定时间子步长为1 d，进行瞬态热分析。

①施做喷射混凝土支护后围岩温度场的分布规律。取围岩为9%裂隙率的Ⅴ级页岩，以开挖8 h后施做25 cm厚喷射混凝土支护为例，提取隧道边墙不同时间、距洞壁不同深度处围岩的温度如图7—25所示。

在隧道开挖后，由于洞内气温高于围岩初始地温，围岩将与空气产生对流换热，致使围岩温度升高，并在一定深度范围内引起围岩内部冰体的融化，形成冻融圈，随着裸露围岩暴露在空气中的时间增长，冻融圈深度逐渐增加。当施做喷射混凝土后，受混凝土水化热作用，距离洞壁不同深度的围岩受其影响，温度场将产生变化。

由图7—25可以看出，在施做喷射混凝土之前（毛洞状态），从洞壁至围岩内部，围岩温度逐渐下降，且对于每一深度处的围岩，随着时间的增长，其温度缓慢增长。对于洞壁位置围岩，初始温度为3.0℃，在暴露20 d后，其温度基本达到稳定，说明其与空气的对流换热作用基本完成；30 d后围岩温度达到4.3℃。距离洞壁0.5 m、1.0 m、2.0 m深度的围岩，温度变化与洞壁位置表现出相似的趋势，其共同特点是：隧道开挖初期，其初始温度均小于0℃，各深度围岩温度达到0℃以上所需时间分别为1 d、7 d、14 d，其在30 d时的稳定温度分别为3.3℃、1.9℃和0.9℃。对于距离洞壁4 m深度的围岩，在30 d之内温度变化范围很小，且基本稳定在初始地温（－0.7℃）左右，说明隧道的开挖对4.0 m深度的围岩温度基本没有影响。按照30 d时距离洞壁2.0 m及4.0 m深度处围岩温度数据，根据线性差值，可得30 d后围岩冻融圈深度约为3.2 m。

图7—25　施做喷混凝土前后围岩温度—时间曲线

在施做喷射混凝土后，隧道围岩温度仍然呈现出随着与洞壁距离的增加，温度逐渐降低的趋势。但受水泥水化热影响，不同深度的围岩温度场产生了显著变化。同时，距离洞壁深度越大，受水化热的影响越小，距离洞壁深度大于2 m时，水泥水化作用对围岩温度的影响很小。

②喷射混凝土支护施做时机对围岩冻融圈深度的影响。设置围岩为9%裂隙率的Ⅴ级页岩，喷射混凝土厚度为25 cm，分围岩开挖8 h、1 d、2 d及3 d后施做喷射混凝土支护，计算喷射混凝土施做后围岩温度场。计算得到，围岩暴露在空气中的时间越长，即越晚施做喷射混凝土，距洞壁同一深度处围岩的温度越高，围岩的温度场受扰动程度越大，围岩的冻融圈深度越大。

同一种工况下随着时间的增长，冻融圈深度增大；围岩开挖后相隔不同时间施工喷射混凝土支护时，大致上喷射混凝土每延迟1 d施做，围岩的冻融圈深度增大10 cm。喷射混凝土施做越迟，围岩的冻融圈深度越大。

③喷射混凝土厚度对围岩冻融圈深度的影响。混凝土的厚度直接决定水化放热的多少，因此喷射混凝土的厚度也会影响到围岩的冻融圈深度。混凝土越厚，水化热释放的越多，对围岩温度场的扰动自然也越大，冻融圈深度也越大。设置围岩为9%裂隙率的Ⅴ级页岩，围岩开挖8 h后施做喷射混凝土支护，喷射混凝土厚度分别为20 cm、25 cm及30 cm，计算围岩温度场，计算得到不同工况下围岩的冻融圈深度。由此可以看出，喷射混凝土厚度每增加5 cm，围岩的冻融圈深度约增加10 cm。

（2）一次模筑混凝土施工时机对围岩温度场的影响

设置围岩为9%裂隙率的Ⅴ级页岩，围岩开挖8 h后施做25 cm厚喷射混凝土支护，分别在10 d、20 d、30 d后浇筑一次模筑混凝土，混凝土入模温度为5℃，设定围岩初始地温为－0.7℃，风速分别取1.0 m/s，洞内气温为5℃，相关围岩参数输入到有限元模型中，进行瞬态热分析。

①施做一次模筑混凝土支护后围岩温度场的分布规律。以喷射混凝土20 d后浇筑一次模筑混凝土为例，提取隧道边墙不同时间、距洞壁不同深度处围岩的温度。如图7—26所示，图中时间起点为喷射混凝土施做时间，第n天表示喷射混凝土n天后。一次模筑混凝土浇筑后，洞壁处围岩在4 d后由4.1℃升高至6.9℃，距洞壁25 cm处围岩温度在5 d后由3.6℃升高至5.5℃。与喷射混凝土对围岩温度场的扰动相比，一次模筑混凝土水化热对围岩温度的影响较小。

图7—26　一次模筑混凝土浇筑后围岩温度—时间曲线（喷混凝土20 d后浇筑一次模筑）

②一次模筑混凝土支护施做时机对围岩冻融圈深度的影响。喷射混凝土支护施做10 d、20 d、30 d后浇筑一次模筑混凝土的三种工况下，围岩的冻融圈深度如图7—27所示。

图7—27　不同一次模筑浇筑时机时的围岩冻融圈深度

相比于仅仅施做喷射混凝土的情况，浇筑一次模筑混凝土时，围岩冻融圈深度前期增大约20 cm。由于仅仅施做混凝土的情况下，空气中的热量更易传入围岩中，于是后期两者逐渐接近。

喷射混凝土40 d后，三种工况下一次模筑混凝土水化热分别释放了30 d、20 d、10 d，一次模筑混凝土水化热依次递减，围岩的冻融圈深度分别为370 cm、360 cm、350 cm，10 d后浇筑一次模筑混凝土工况下冻融圈深度最大；随着水化热释放的逐渐减少，三种工况下水化热总量趋于相等，于是围岩的冻融圈深度接近相同。

（3）混凝土入模温度对围岩温度场的影响

设置围岩为9%裂隙率的Ⅴ级页岩，围岩开挖8 h后施做25 cm厚喷射混凝土支护，20 d后浇筑一次模筑混凝土，混凝土入模温度分别取5℃、10℃、15℃，设定围岩初始地温为－0.7℃，风速分别取1.0 m/s，洞内气温为5℃，相关围岩参数输入到有限元模型中，进行瞬态热分析。计算得到三种不同的入模温度下围岩的冻融圈深度。可知，入模温度为15℃时的冻融圈深度比入模温度为5℃时的冻融圈深度大约10 cm。

图7—28　入模温度不同时围岩温度—时间曲线

图7—28为距洞壁不同深度处的围岩温度随时间的变化曲线，图中时间起点为喷射混凝土施做时间。入模温度为5℃、10℃、15℃时，洞壁围岩在喷射混凝土支护施做5 d内差值较大，围岩最高温度分别为10.1℃、10.5℃、10.9℃；距洞壁0.5 m处的围岩最大温度差约为0.2℃，约20 d后，已基本相等；距洞壁4.0 m深时，围岩温度已经几乎相同。

（4）考虑水化热与否围岩冻融圈深度的对比

设置围岩为页岩，围岩开挖8 h后施做25 cm厚喷射混凝土支护，20 d后浇筑一次模筑混凝土，混凝土入模温度取5℃，裂隙率分别取3%、6%、9%（Ⅳ～Ⅴ级围岩），设定围岩初始地温为－0.7℃，风速分别取1.0 m/s，洞内气温为5℃，相关围岩参数输入到有限元模型中，进行瞬态热分析。

三种不同裂隙率情况下围岩的冻融圈深度，已知同种情况下，考虑水化热时，围岩的冻融圈深度比不考虑时增加70～110 cm，因此混凝土（尤其是喷射混凝土）水化热对围岩温度场的扰动相当大，其对冻融圈的影响不可忽略。

图7—29　不同围岩级别下冻融圈深度的变化

图7—29为三种裂隙率情况下围岩的融化圈深度。在同一时期，裂隙率越小，即围岩级别越高，冻融圈深度越大（裂隙饱水的前提下）。

3）洞内环境对围岩冻融圈深度的影响

（1）洞内风速的影响

设置围岩为9%裂隙率的Ⅴ级页岩，围岩开挖8 h后施做25 cm厚喷射混凝土支护，20 d后浇筑一次模筑混凝土，混凝土入模温度为5℃，设定围岩初始地温为－0.7℃，洞内气温为5℃，风速分别取1.0 m/s、3.0 m/s，相关围岩参数输入到有限元模型中，进行瞬态热分析。两种情况下围岩的冻融圈深度见表7—16。

表7—16　不同洞内风速下围岩的冻融圈深度（以喷混凝土为时间起点）　（cm）

（续表）

与洞内风速为1.0 m/s的情况相比，风速为3.0 m/s时围岩冻融圈深度减小10～20 cm，其原因是风速越大，对流换热系数越大，越多的混凝土水化热传递到空气中，传递到围岩中的热量减少。因此，适当加大洞内空气流通速度，有利于混凝土水化热的释放，降低其对围岩温度场的扰动。

（2）洞内气温的影响

设置围岩为9%裂隙率的Ⅴ级页岩，围岩开挖8 h后施做25 cm厚喷射混凝土支护，分别在20 d后浇筑一次模筑混凝土，再过30 d后浇筑二次模筑混凝土，混凝土入模温度为5℃，设定围岩初始地温为－0.7℃，风速分别取1.0 m/s，洞内气温分别取2℃、5℃、8℃，相关围岩参数输入到有限元模型中，进行瞬态热分析。三种情况下围岩的冻融圈深度见表7—17。

表7—17　不同洞内气温下围岩的冻融圈深度（以喷混凝土为时间起点）　（cm）

由表7—17中数据可知，洞内气温对围岩的冻融圈深度影响很大。在喷射混凝土施做30 d、60 d、90 d、120 d后，洞内气温为8℃时围岩冻融圈深度是洞内气温为2℃时围岩冻融圈深度的1.25、1.31、1.35、1.40倍，时间越长，较高的洞内气温对围岩的冻融圈影响越大。洞内气温由2℃增加到5℃时围岩冻融圈深度的变化值明显大于洞内气温由5℃增加到8℃时冻融圈深度的变化值，这表明在温度上升幅度相同的情况下，洞内气温较低时，围岩冻融圈深度的变化较大。