拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。几何拓扑学是19世纪形成的一门数学分支，属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在18世纪就出现了。那时候发现的一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占据着重要的地位。

空间关系是空间数据模型的重要组成部分。空间关系是指空间实体之间存在的具有空间特性的关系，是存在于客观世界中的一种基本关系。空间关系通常包含三大类，即度量关系、顺序关系和拓扑关系。度量关系是用某种度量空间中的度量来描述的对象间的关系，如对象间的距离等；顺序关系是用来描述对象在空间中的某种顺序的关系，如前、后、左、右、东、西、南、北等；拓扑关系是指拓扑变换下的拓扑不变量，如空间实体的相邻和连通关系。

目前，人们对空间关系的研究主要集中在拓扑关系、度量关系、顺序关系三大类关系上，这些空间关系是空间数据进行组织、查询、分析和推理的基础。在这些空间关系中，拓扑关系被认为是能够提供最好空间信息的一种空间关系，当拓扑关系与其他空间关系发生冲突时，它应当占有支配地位。

拓扑关系描述是建立空间实体与所对应的拓扑关系之间的映射，不同的拓扑关系可以采用不同的方法，但映射的结果必须与认知的概念相一致。国内外许多专家学者致力于拓扑关系描述的研究，并取得了许多研究成果，其中比较有代表性的模型包括Egenhofer等人提出的基于点集拓扑学理论的4-交集模型（4IM）、9-交集模型（9IM）。4-交集模型可以区分2种点/点关系、16种线/线关系、11种线/面关系和8种面/面关系；9-交集模型可以区分2种点/点关系、33种线/线关系、19种线/面关系和8种面/面关系。针对 9-交集模型的不足，Clementini等人在9-交集模型的基础上运用维数扩展法，即将两个空间实体的边界和内部之间交集结果的维数用于描述两个空间实体间拓扑关系的框架，得到了基于维度扩展的9-交集模型（DE-9IM）。陈军等人在9-交集模型的基础上，利用空间实体的Voronoi范围来替代空间实体的外部，建立了基于Voronoi图的9-交集模型（V9I），该模型具有较强的拓扑关系区分能力。邓敏等人提出了面目标拓扑关系的层次描述模型和线目标间拓扑关系描述的层次方法。除了上述拓扑关系描述模型外，基于逻辑推理的RCC模型也是拓扑关系描述的形式化模型之一，它是Randell等人以Clerke的区域连接理论为基础，共同提出的一种基于区域连接演算的空间逻辑模型。RCC模型包含RCC5和RCC8两种模型。RCC5定义了两个区域之间的5个基本拓扑关系：DR、PO、PP、PP-1和EQ。RCC8比RCC5更加精确，定义了两个区域之间的8个基本拓扑关系：DC、EC、PO、TPP、NTPP、EQ、NTPPI和TPPI。此外，符号投影法、基于语义的拓扑关系描述方法以及外接矩形法也被广泛地用于拓扑关系的描述。

拓扑关系运算用于计算不同空间实体之间的拓扑关系，是获取空间实体间拓扑关系最直接的方法。人类可以直接识别与记忆现实世界和模拟地图中的空间实体之间的空间关系，但计算机却难以直接识别。计算机是通过几何坐标来存储空间实体以及其相互关系的，因此在计算机里必须通过大量的计算才能建立空间关系，即使有些系统如 ARC/INFO 显式记录了部分关系，但通常都是十分简单的邻接关系，而大部分空间关系则需要在应用时进行基于坐标的计算。为此，国内外研究者提出了许多关于求解空间拓扑关系的算法，主要是包含关系的判断和相交关系的判断。

包含关系的判断，关键在于检测点是否在多边形内部。对于点在多边形内的判断，常见的方法有射线法和转角法等。刘德儿等人分析了射线法中的交点在多边形顶点上的情况，并提出了一种基于反向射线和顶点退化处理相结合的判断算法。刘民士等人提出了利用线段代替射线，通过对多边形构建最小外接矩形，分析线段与矩形的关系，从而判断点与多边形的关系，避免了射线法求交点运算以及异常处理。向俊等人根据射线与多边形的边界相交特性，提出了对不同类型的顶点数加1、加2和加3的算法，该算法能够准确地判断点与多边形的位置关系，并将现有的射线法扩展到更复杂的多边形中。骆雯等人针对多边形的边由线段组成而非圆弧组成的缺陷，分析了以圆弧为边界的点与多边形位置关系判断原理，并改进了转角算法。

对于相交关系的判断，其核心是线与线的相交判断。Schneider有关于线对象之间求交的算法论述。周培德也针对二维/三维线段间的求交算法进行了阐述。Bentley提出了一种利用坐标的递增计算平面上线段交点的方法。沈掌泉等人提出了局部空间变换的思路，通过坐标空间的变换计算，将求两条线段间的交点转化为求线段与矩形对角线间的交点。Chan提出了一种基于梯形扫描线算法用于计算线与线的交点。程昌秀等人针对n条线段相交算法存在的不足，提出了一种用点位判断法判断两线段是否相交的方法，局部优化了n条线段相交算法。杨崇俊等人提出了一种基于单调链的Red/Blue扫描线求交算法。

除了上述关于包含关系和相交关系的算法外，国内外研究者和商业公司还提出了一些计算拓扑关系的方法。ArcGIS公司和Oracle公司遵循9IM模型和E-9IM 模型来计算目标间的拓扑关系，分别可以实现7种和11种拓扑关系的计算。赵仁亮提出了一种基于Voronoi区域的空间代数方法（VW方法），VW方法的主要思想是通过计算空间实体的整体及其Voronoi区域间的交、并、被差、差和对称差等来计算目标间的拓扑关系。周晓光在VW方法的基础上提出了WID3方法，用VW方法提取交、差、被差三个操作算子用于地籍拓扑关系的描述与计算。(www.daowen.com)

拓扑关系运算用于计算不同实体之间的拓扑关系，是获取空间实体之间拓扑关系最直接的方法。拓扑地图模型的几何对象间具有结点-基本几何对象-复合几何对象的复杂层次关系，实体间的拓扑关系隐含在几何对象的层次关系中，通过几何关系图表达可以描述这种层次关系。以几何关系图表达为基础，结合拓扑关系描述与计算几何方面的算法，可展开拓扑地图模型的拓扑关系运算研究。

拓扑关系是一种基本的空间关系，它被人们定义为拓扑变换（如缩放、平移、旋转）下的拓扑不变量。空间实体之间的拓扑关系与目标的维数、形态有关，因而空间实体之间的拓扑关系是复杂多样的。拓扑关系描述的目的是建立起实体与所对应的拓扑关系之间的映射，是进行拓扑关系运算的基础。

下面给出5种空间关系的定义：

定义P表示点状目标（0维几何对象），L表示线状目标（一维几何对象），A表示面状目标（二维几何对象），给定2个空间实体A和B，主要有5种主要的拓扑关系：相离关系Disjoint、相接关系Touch、相交关系Cross、在内部关系Within、交叠关系Overlap。

按照人类认知习惯，空间实体之间还有相等（Equal）、包含（Contain）、覆盖（cover）和被覆盖（Covered By）4种常用拓扑关系，这4种拓扑关系可以用以上5种基本拓扑进行表达。

除了上述的几种基本拓扑关系外，Clementini等人还给出了DE-9IM模型的详细图形表示，DE-9IM模型可以区分2种点/点关系、3种点/线关系、3种点/面关系、33种线/线关系、31种线/面关系和9种面/面关系。

按照分类与顺序给予相应的标示符号，点/点关系符号为RPP1-RPP2，点/线关系符号为RPL1-RPL3，线线关系符号为RLL1-RLL33，线/面关系符号为RLA1-RLA31，面面关系符号为RAA1-RAA9。