1.平面问题的基本方程

现在，我们考虑静力学、几何学和物理学三方面的条件，分别建立三套方程。

（1）平衡微分方程及应力状态 下面，我们首先考虑空间问题的静力学方面，在弹性体内任一点取出一个微分体，根据平衡条件来导出应力分量和体力分量之间的关系式，也就是空间问题的平衡微分方程，并对物体内一点的应力状态进行分析。

如图2-12所示，在物体内任意一点P，取图示微小平行六面体，它的六面垂直于坐标轴，且棱边的长度PA=dx，PB=dy，PC=dz。微小平行六面体各面上的应力分量如图2-12所示。

若以连接六面体前后两面中心的直线为ab为轴距，列出力矩的平衡方程ΣM_ab=0，可得

图2-12 微小平行六面体各面上的应力分量

化简并略去高阶微量，得

τ_yz=τ_zy

同理可得

τ_zx=τ_xz，τ_xy=τ_yx

这又一次证明了空间一般情况下切应力的互等关系。

分别以x轴、y轴及z轴为投影轴，列出投影的平衡方程ΣF_x=0、ΣF_y=0及ΣF_z=0，得

将上述三个方程化简，可得

这就是空间问题的平衡微分方程。

现在继续研究空间问题的静力学方面。假定任一点P的六坐标面上的应力分量σ_x、σ_y、σ_z，τ_xy=τ_yx，τ_yz=τ_zy，τ_zx=τ_xz，求经过该点任意斜截面上的应力。为此，如图2-13所示，在点P附近取一个平面ABC，它平行于上述斜面，并与经过点P而平行坐标面的三个平面行程一个微小的四面体PABC。当四面体PABC与点P无限接近时，平面ABC上的平均应力就成为上述斜截面上的应力。

图2-13 四面体斜截面上的应力

令平面ABC的外法线为n′，则方向余弦为

cos（n′，x）=l，cos（n′，y）=m，cos（n′，z）=n

设△ABC的面积为dS，则△PBC、△CPA、△APB的面积分别为ldS、mdS和ndS。四面体PABC的体积用dV代表。△ABC上的全应力p在坐标轴上的投影分别为p_x、p_y和p_z。根据四面体的平衡条件，并用px和p_y分别代表斜面AB上的全应力p在x轴及y轴上的投影。设斜面AB的长度为ds，则PB面及PA面的长度分别为lds和mds，则PAB的面积为ldsmds/2。将垂直于图平面的尺寸取为1，由平衡条件ΣF_x=0，可得ΣF_x=0，即

p_xdS-σ_xldS-τ_yxmdS-τ_zxndS+f_xdV=0

除以dS，整理得

当四面体PABC与P点无限接近时，由于dV是比dS更高一阶的微量，所以趋向于零。于是得出式（2-36）中的第一式，其余两式可分别由平衡方程ΣF_y=0及ΣF_z=0得出

设△ABC上的正应力σ_n，则有

σ_n=lp_x+mp_y+np_z

将式（2-36）代入，并分别用τ_xy、τ_yz和τ_zx替代τ_yx、τ_zy和τ_xz，可得

σ_n=σ_xl²+σ_ym²+σ_zn²+2mnτ_yz+2lnτ_zx+2lmτ_xy （2-37）

设△ABC上的切应力为τ_n，则由于

于是有

由式（2-37）和式（2-38）可知，在物体内的任意一点，如果已知坐标面上的六个应力分量σ_x、σ_y、σ_z、τ_xy、τ_yz和τ_zx，就可以求得任一截面上的正应力和切应力。

设经过任一点P的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面上的正应力称为在点P的一个主应力，该斜面称为在点P的一个应力主面，而该斜面的法线方向称为在点P的一个应力主向。

假设在点P有一个应力主面存在。这样，由于该面上的切应力等于零，所以该面上的全应力就等于该面上的正应力，也就等于主应力。于是该面上的全应力在坐标轴上的投影成为

p_x=lσ，p_y=mσ，p_z=nσ

将式（2-36）代入上式，可得

此外，还有方向余弦的关系式

l²+m²+n²=1 （2-39b）

如果将式（2-39a）与式（2-39b）联立求解，就能够得到σ、l、m和n的一组解答，就得到点P的一个主应力以及与之对应的应力主面和应力主向。下面进行求解分析。

将式（2-39a）化为

这是l、m、n的三个齐次线性方程。因为由式（2-39b）可知l、m和n不能全为零，所以这三个方程的系数的行列式应该等于零，即

将行列式展开，可得σ的三次的特征方程

σ³-I₁σ²+I₂σ-I₃=0(www.daowen.com)

式中，

I₁=σ_x+σ_y+σ_z

I₂=σ_xσ_y+σ_yσ_z+σ_zσ_x-τ²_xy-τ²_yz-τ²_zx

I₃=σ_xσ_yσ_z+2τ_xyτ_yzτ_zx-σ_xτ²_yz-σ_yτ²_zx-σ_zτ²_xy

特征方程有三个实数根，即σ₁、σ₂和σ₃，代表某点的三个主应力。为了求得与主应力σ₁相应的方向余弦l₁、m₁和n₁，可以利用式（2-39c）中的任意两式，如其中的前两式。由此可得

l₁（σ_x-σ₁）+m₁τ_yx+n₁τ_zx=0

l₁τ_xy+m₁（σ_y-σ₁）+n₁τ_zy=0

将上列两式均除以l₁，可得

可以从上两式中解出比值和，结合式（2-39b），可解得l₁，即

并由已知的比值和，即求得m₁和n₁。同样，可以求得与主应力σ₂相应的l₂、m2和n₂；以及与主应力σ₃相应的l₃、m₃和n₃。

可以证明：在物体内的任意一点，一定存在三个相互垂直的应力主面和对应的三个主应力σ₁、σ₂、σ₃；三个主应力中最大的一个就是该点的最大正应力，最小的一个就是该点的最小正应力；最大与最小的切应力，在数值上等于最大主应力和最小主应力之差的一半，作用于通过中间主应力并且“平分最大主应力和最小主应力的夹角”的平面上。在物体内的任意一点，三个相互垂直的面上的正应力之和I₁是不变量，且I₁=σ₁+σ₂+σ₃。

需要指出的是，应力和应力主方向取决于结构外力和约束条件，与坐标系无关。

（2）几何方程 现在来考察空间问题的几何方面。在空间问题中，形变分量和位移分量应当满足下列6个方程，即空间问题的几何方程

其中，第一式、第二式和第六式已由式（2-7）给出，其余三式可以用同样的方法推导出。

附带说明一下体应变的概念。设有微小的正平行六面体，其棱长为dx、dy和dz。在变形之前，它的体积为dxdydz；在变形之后，它的体积为（dx+ε_xdx）（dy+ε_ydy）（dz+ε_zdz）。因此，它的每单位体积的体积改变，也就是体应变，为

由于位移和变形是微小的假定，可以略去线应变的乘积项，则上式简化为

θ=ε_x+ε_y+ε_z

将几何方程（2-40）中的前三式代入上式，得

它表示体应变和位移分量之间的简单微分关系。

（3）物理方程 现在考虑空间问题的物理方面。各向同性体中的形变分量和应力分量之间的关系由式（2-8）给出

这是空间问题物理方程的基本形式，其中形变分量是由应变分量表示的，可用于按应力求解的方法。将式（2-41）中的前三项相加，得

应用式（2-39）并令Θ=σ_x+σ_y+σ_z，则上式可以简写为

前面已经说明，θ=ε_x+ε_y+ε_z是体应变。现在又看到，体应变θ和Θ成正比。因此，Θ=σ_x+σ_y+σ_z也就成为体积应力，而θ和Θ之间的比例常数也就称为体积模量。

为了以后用起来方便，下面来导出物理方程的另一种形式，即将应力分量用形变分量来表示。

由式（2-41）中的第一式，可得

由上式解得σ_x为

将由式（2-42）得来的代入上式，得

对于σ_y和σ_z，也可以导出与此相似的两个方程。此外，再由式（2-41）求解切应力分量，总共得出如下的6个方程

这是空间问题物理方程的第二种形式，其中应变分量是由形变分量表示的，可用于按位移求解的方法。

2.空间问题的边界条件

对于空间问题，与平面问题一样，当物体处于平衡状态时，除了内部各点的应力状态应满足平衡微分方程以外，在边界上应满足边界条件。

（1）位移边界条件 当边界上已知位移时，应建立物体边界上点的位移与给定位移相等的条件。如令给定位移的边界为S_u，则有（在S_u上）

式中，（u）s、（v）s和（w）s表示位移的边界值，而u、v和w在边界上是坐标的已知函数。

（2）应力边界条件 当物体的边界上给定面力时，则物体边界上的应力应满足与面力相平衡的平衡条件。即若在S_σ部分边界上给定了面力分量f_x（s）、f_y（s）和f_z（s），则可以由边界上任意一点微分体的平衡条件，导出应力与面力之间的关系。为此，在边界上任意一点P取出一个类似于图2-13的微分体。这时，斜面ABC就是变截面，在此面上的应力分量p_x、p_y和p_z应代换为面力分量f_x、f_y和f_z。结合式（2-36）得出平面问题的应力边界条件（在S_σ上）为

式中，f_x（s）、f_y（s）和f_z（s）在边界上是坐标的已知函数；l、m和n是边界面外法线的方向余弦。

总结起来，对于空间问题，我们共有15个未知函数：6个应力分量σ_x、σ_y、σ_z、τ_xy（=τ_yx）、τ_yz（=τ_zy）和τ_zx（=τ_xz）；6个形变分量ε_x、ε_y、ε_z、γ_xy、γ_yz和γ_zx；3个位移分量u、v和w。这15个未知函数在弹性体区域内应当满足15个基本方程：3个平衡微分方程[式（2-35）]；6个几何方程[式（2-40）]；6个物理方程[式（2-41）或式（2-43）]。此外，在给定约束位移的边界S_u上，应满足位移边界条件式（2-44）；在给定面力的边界上，还应满足应力边界条件式（2-45）。