清代中期,许多学者一方面在挖掘、整理前人的数学遗产,另一方面也在独立开展数学研究,同时也接受西方天文、历法和数学上的研究成果,使我国的数学研究前进了一大步。其中,扬州学派的代表人物阮元、焦循、凌廷堪以及陈厚耀、罗士琳等扬州学者发挥了重要的作用,罗士琳曾云:“自元大德时,朱松庭(世杰)游广陵,学者云集。其时有赵元镇(城)者,代刊其书。国朝又有陈泗源(厚耀)先生,蒙圣祖仁皇帝指示算学,若良亭(张肱)者,则又从明监正(钦天监监正明安图),而监正亦得算法于圣祖仁皇帝者也。至今良亭后裔,世业畴人,引而勿替,外此如焦君里堂(循)、杨君竹庐(大壮),皆精九数。近来朱氏二书既昌复于广陵,而《捷法》(指明安图《割圆密率捷法》)亦为岑君绍周(建功)校刊。岑虽为天长人,若援寓公之例,亦得附郡人之例。然则历算之学,吾乡可谓盛矣。”(39)

清代扬州在传统数学的整理研究中,贡献最大者,首推阮元。阮元是扬州学派的领袖,在几十年的仕途生涯中,仍然坚持学术研究。尽管他在数学上没有专门的著述,但他注意识拔和聚集数学人才,重视数学教育,多方寻访与校注数学古籍,编纂了包括数学家等科技人才在内《畴人传》,可谓功不可没。

阮元在外为官几十年,每到一处,总是关注古代数学典籍的寻访征集,一有所获,即组织著名学者进行整理,刊行于世。比如《四库全书》中收录了秦九韶、李冶等人的数学著作,但缺漏了宋元时期的杰出学者杨辉和朱世杰的著作,仅存其书目。嘉庆年间,他在《永乐大典》中抄得杨辉的《摘奇》(《续古摘奇算法》)及《议古》(《议古根源》)等百余页,交给江藩加以整理。后来听说苏州黄丕烈得到了宋刊本的《杨辉算法》,又叮嘱何梦华(元锡)加以抄录。(40) 阮元身为朝廷重臣,亲自挖掘整理古代数学佚著,为学术界乃至为全社会尊重科技人才,重视自然科学,做出了极为难得的示范和倡导。

清代,在整理研究传统数学的扬州人中,焦循的成果最为卓著。他识见通博,被誉为“通儒”,在数学方面也有独到的建树。焦循25岁时方才学习研究数学,自学成才,然而他才智过人,再加上刻苦勤奋,终于取得了令人瞩目的成就,跻身于当时著名的数学家之列,与凌廷堪、李锐齐名。

焦循的数学成果,大多收录在《焦氏丛书》的《里堂学算记》中,其中有《加减乘除释》八卷、《天元一释》二卷、《释弧》三卷、《释轮》二卷、《释椭》一卷。此外,焦循的数学著作还有《乘方释例》五卷、《开方通释》一卷、《大衍求一术》一卷及《孙子算经注》等。

《加减乘除释》是焦循的代表作。在我国,传统的数学研究多为具体的数学问题,很少探讨数学理论。古代数学家的著述,大都类似于今天的数学习题集,着重讲述各种具体的数学问题及其解法,反映了当时开凿运河、修筑长城和大规模城市建设等土木和水利工程施工计算的实际需要,有实际运用价值,但却是“仅仅具有其法,而不能言其立法之意”。焦循提出要“一一明其理,达其用。……以一线贯之”。于是,焦循便着手探讨数量加减乘除运算的基本规则,他用甲、乙、丙、丁等天干字代替具体的数字,相当于今日数学上所用的a,b,c,d等拉丁字母,“论数之理,取于相通,不偏举数,而以甲乙明之”,从而推证出数量运算的若干基本规律,写出了著名的《加减乘除释》一书。书中,焦循提出了有关加减乘除运算的规则九十三条,每一条相当于一个定理或公式,对交换律、结合律和分配律等都作了精当明了的阐述。当时,这是数学研究思维理念的一大革新。其先进之处在于,它不是以具体的数学问题和解法为主,而是以运算规则及其论证为要,是传统数学研究思路与方法上的一大变革:在阐述规则和定律时,第一次引用抽象的符号,用符号对数学运算作抽象性的理论研究,开创了我国符号数学研究的先河。(41)

焦循的数学研究成果,从实践到理论都取得了突破性的进展。和西方代数学比较,在时间上晚了一些,但这些成果是在没有受到西方近代数学的影响下独立得到的,在我国数学史上仍具有里程碑的意义。

清代扬州有一个对天文、历算和数学极有兴趣的学术群体。在十七至十八世纪的一二百年间,这个群体的学者前后承续,史料中可查询者就多达二三十人。正是有了这样一个学术群体,学者们相互间交流、切磋、互补、共进,为数学研究营造了不可多得的氛围。其中,凌廷堪和罗士琳二人最为突出。

凌廷堪(1757—1809年),字次仲,一作仲子,祖籍安徽歙县,出生于江苏海州(今连云港),学于扬州,为扬州华氏赘婿。凌廷堪在天文、历法和数学方面都有很高的造诣,李斗在《扬州画舫录》说:“里堂称以歙县凌仲子、吴县李锐尚之、歙县汪莱孝婴为‘论天三友’。”(42) 凌廷堪未著数学专著,但他研究数学的成果,在他本人以及友人的著述中时有反映,如他的文集中有《与焦里堂论弧三角书》《与孙符如同年书》,就弧三角的解法等提出了自己独到的见解。尤为特殊的是,他既重视理论,也重视实测,认为“至颐之理,非器不能明也”。出于实测的目的,他制作了许多仪器,有用楮木制作的方直仪、立三角仪,还有用纸板制作的观察天象的浑仪。在仪器的观察、实验中,凌廷堪获得了许多直接观察到的知识,证实了“探颐抉微,中西无异”,确立了中西兼采、中西持平的学术主张。在当时思想界、学术界盛行“西学东源说”的背景下,有此看法,尤其显得难能可贵。

罗士琳(1784—1853年),字次璆,号茗香,扬州甘泉人。早岁即精天算之学,考取天文生,入钦天监。一生“博闻强识,兼综百家,于古今法算尤具神解”(43) 。罗士琳数学方面的著述甚丰,有《比例汇通》《勾股截积和较算术》《四元释例》《四元玉鉴细草》《三角和较算例》《台锥积演》《弧矢算术补》《续畴人传》等。尤其是他为朱世杰《四元玉鉴》所做的校勘注释,在中国数学史上是一件颇具影响的大事。“四元术”代表了中国古代数学的最高成就,罗士琳读了《四元玉鉴》后,“服膺叹绝,遂一意专精于天元、四元之术”。阮元对他的校勘注释极为肯定:“生平诣力孟晋,无过是书矣。”(44)

罗士琳曾经自豪地说:“历算之学,吾乡可谓盛矣。”(45) 这在其他地域是不多见的。寻其根由,主要的还是因为当时的扬州经济繁荣,商业实用运算、园林土木建筑、运河修治工程等,对自然科学特别是数学的实际运用产生了迫切的需要;加之扬州经济社会的主流群体是商家与儒士的结合体,有一种亦儒亦商、商儒互补的人文环境,也有一种尊重人才、尊重科技的文化氛围,这种社会环境的特殊性,是其他地域很难具备的。尽管封建社会里视科学技术为“奇技淫巧”,但扬州有阮元、焦循、凌廷堪等扬州学派中坚人物的示范倡导,使得扬州的有识之士普遍地对天文、历法、数学产生浓厚的兴趣。由于多种因素的共同作用,使得当时的扬州成为全国传统数学研究的重镇,也促进了我国传统数学的复兴。

(1) 参见《龙虬庄》,第400—401页。

(2) 参见《龙虬庄》,第327、487页。

(3) 《龙虬庄》,第181页。

(4) 《龙虬庄》,第461页。

(5) 《龙虬庄》,第531页。

(6) 《龙虬庄》,第327页。

(7) 《龙虬庄》,第497页。

(8) 参阅华觉明、卢本珊:《长江中下游铜矿带的早期开发和中国青铜文明》,《自然科学史研究》1996年第15卷第1期,第1—16页。

(9) 孙星衍:《尚书今古文注疏》,中华书局1986年版,第161页。

(10) 《汉书》卷二十四下《食货志》,第1157页。

(11) 参阅吴学文:《江苏六合李岗楠木塘西汉建筑遗迹》,见南京市博物馆编:《南京考古资料汇编》,凤凰出版社2013年版,第481页。

(12) 参阅韩汝玢、柯俊主编:《中国科学技术史·矿冶卷》,科学出版社2007年版,第499—500页。

(13) 《中国科学技术史·矿冶卷》,第500页。

(14) 《扬州馆藏文物精华》,第21页。

(15) 《扬州馆藏文物精华·文物说明》,第5页。

(16) 《扬州馆藏文物精华》,第40页。

(17) 《扬州馆藏文物精华·文物说明》,第9页。

(18) 顾炎武:《天下郡国利病书》云:“北神堰在楚州城北五里,吴夫差于此立堰者,盖淮水低,沟水底高,恐其泄也。”见黄珅等主编:《顾炎武全集》,上海古籍出版社2011年版,第1045页。(www.daowen.com)

(19) 参见《中国水利史稿》中册,水利电力出版社1979年版,第21页。

(20) 李白:《题瓜洲新河饯族叔舍人贲》,郁贤皓:《李太白全集校注》,第3201页。

(21) 参见《京杭运河(江苏)史料选编》,人民交通出版社1997年版,第70页。

(22) [英]李约瑟原著,柯林·罗南改编,上海交通大学科学史系译:《中华科学文明史》第5卷,上海人民出版社2003年版,第241页。

(23) 《宋史》卷三百七《乔惟岳传》,第10117页。

(24) 《梦溪笔谈》,中华书局2016年版,第121页。

(25) 《京杭运河(江苏)史料选编》,第221页,

(26) 参见《京杭运河志(苏北段)》,第337—338页。

(27) 参见《京杭运河志(苏北段)》,第344页。

(28) 参见《京杭运河志(苏北段)》,第345页。

(29) 参阅尚志钧:《论<吴普本草>和<本草经集注>之关系》,《中华医史杂志》1989年第19卷第2期,第125—127页。

(30) 《三国志》卷二十九《方伎传》,第804页。

(31) 陈梦雷等编:《古今图书集成·医部全录》点校本,人民卫生出版社1991年版,第239页。

(32) 参阅《滑寿医学全书》,山西科学技术出版社2013年版。

(33) 见黄世瑞:《秦观<蚕书>小考》,《农史研究》第五集,农业出版社1985年版,第251页。

(34) 陆敬严、华觉明主编:《中国科学技术史·机械卷》,科学出版社2000年版,第345—348页。

(35) 参见魏东:《论秦观<蚕书>》,《中国农史》1987年第1期,第82—88页。

(36) 姜义安:《<陈旉农书·后记>质疑》,《中国农史》,1991年第1期,第101—105页。

(37) 范楚玉:《陈旉的农学思想》,《自然科学史研究》1991年第10卷第2期,第169—176页。

(38) 董恺忱、范楚玉主编:《中国科学技术史·农学卷》,科学出版社2000年版,第654页。

(39) 阮元:《畴人传续编》下册卷四十八,广陵书社2009年版,“张肱”第570页。

(40) 阮元:《畴人传续编》下册,第555页。

(41) 参阅吴裕宾:《焦循与<加减乘除释>》,《自然科学史研究》1989年第5卷第2期,第120—128页。

(42) 《扬州画舫录》卷五《新城北录下》,第57页。

(43) 阮元:《畴人传三编》卷四,广陵书社2009年版,第711页。

(44) 阮元:《畴人传三编》卷四,第710页。

(45) 阮元:《畴人传续编》卷四,第570页。