1.地形变化的方向性分析

无论海底地形形态如何复杂，整个区域或局部都可描述为某种函数形式，即将高程（水深）表达为二维位置坐标的函数，即

注意，在此以符号qi表示水深，一方面与坐标表示符号相匹配，另一方面，由于在不同垂直基准下海底地形点的水深或高程有多重含义及表达符号，因此以统一符号替代。

将海底地形的该标量场函数做Taylor级数展开，则有：

式中，（x0，y0）为级数展开的参考点；Δx＝x-x0，Δy＝y-y0为任一流动地形点（x，y）在相应坐标方向与参考点的坐标差。

就海底地形测量而言，对于局部地形形态，取参考点位于测线断面上，则在参考点附近的一定邻域内，可将式（5.30）简化为一阶展开式表示微地形形态：

根据梯度的定义，设参考点（x0，y0）到流动点（x，y）的方位为l，则有梯度（模g与方向n）与方向导数的表达式：

而任一方向l的方向导数为：

其中，（n，l）为所关注方向与梯度方向的夹角。

因此，在测点的邻域内，式（5.31）进一步改化为：

其中，Δl表示（x0，y0）到（x，y）的距离，即

2.测线间的水深推估原理

在已知海底地形的严密函数表达式的情况下，则由图5-14测线上任一观测点的水深值可利用位置差异和方向导数信息，根据式（5.34）计算邻近点P的水深zP。

然而，海底地形正是这种测量的对象，即便对海域以单波束测量方式完成了水深的抽样测量，也未必能够获得海底地形的解析函数。实际上，总可以通过观测数据在一定程度上刻画测点附近局部区域的海底地形变化形态。例如，根据图5-15所示的相邻两条测线上的三点的实测水深观测值，在海底地形线性（等倾斜）变化情况下，可以计算地形梯度，并推估内插点P的水深zP。

设测线方向为l1，由k指向k+1，而k指向相邻测线点j的方向记为l2，则根据测线上三点的水深观测值及其坐标可以计算如下方向导数：

图5-14　海底地形函数支持的水深推估示意图(www.daowen.com)

图5-15　依据测点的水深内插推估示意图

而任一方向的导数（地形变化率）又可写为：

在此，将l方向与坐标轴x的夹角（l，x）简写为l，即方向对应的方位，而gx、gy分别指坐标轴方向的方向导数。于是有：

因l1和l2方向不重合，故：

其中，θ是求方向导数所用两个方向的夹角。

据以上诸式可导得：

在此，不对由水深观测量推求内插点水深的表示式进行详细推导，实际上，在海底等倾斜的假设条件下，内插点水深表达式将与三点平面内插公式等价。即不论海底倾斜方向如何，都可获得空白区的可靠水深插值，从而可以表达连续的海底形态。

就海底地形探测而言，由观测数据进行空白点内插，将受到观测量误差的影响，特别是需要考虑海底地形存在复杂甚至未知的变化，这些变化通常表现出一定程度的非线性特征，地形梯度也将是位置的函数，式（5.30）中的高阶导数将对海底地形的高精度表示带来影响。

将图5-15中的k点移动至k′点，该点至推估点的方向与测线方向垂直，因此梯度的大小可简写为在l′2方向上，若方向导数足够小，则观测误差以及地形非线性变化带来的系统误差对推算点的水深影响将最小，是测线间水深内插的理想条件。而此时，测线方向l1应与梯度方向重合。据此得出基本结论，非实测海底地形点的精确内插依赖于测线沿海底地形变化梯度方向布设。

根据陆地地形测量的基本知识，测量地貌形态主要测定地形特征线，即地性线。对于海底而言，地性线即可理解为自然海底的最大变化剖面。陆地地形测量在测者可见的环境下实施，对特征地物与地貌，采取先判别再测定的方式，而在海底地形测量中所不同的是，一切地貌和地物都必须通过测量数据所反映的变化规律来推断和判别。因此，不论从宏观尺度上，还是微观意义上，对地形地貌的变化量信息进行合理采集都作为基本原则，同时也决定着后续探讨的探测密度。

事实上，测线布设方向应从海底地形探测完善性和精度两方面考虑，若测量技术对任意方向的探测分辨率相同，甚至可实现全覆盖探测，沿任一方向布设测量断面并不影响海底地形探测的完善性。而在分辨率存在明显差异时，将最高的分辨率置于变化梯度方向，从而保证对海底的细微变化在测深数据上做出敏感的反应，减少局部突变地形的漏测概率。单波束水深测量模式的主要特征是在测线上可（视为）实现连续采样，具有最高的探测分辨率，而在测线正横方向，不可能按全覆盖要求密集布设测线，因此，存在地形点内插和推估问题，保证这种推估的高精度，与区域性海底地形探测的完善性是相统一的。当然，若能实现一定分辨率的全覆盖探测，保证完善性的基础上，测量效率也是测线布设必须考虑的重要因素。

3.测线方向的确定策略

前述理论分析立足于局部地形的精细探测与表达。而测线布设是海底地形测量基础性的工作，需要将整个测区视为关注对象，属于工程设计阶段的任务。

对于整个测区，按海底地形总体变化趋势的梯度方向设计断面是测线布设的基本原则。对于前期已有观测数据、海图等信息资料，开展更大比例尺海底地形精细、更新探测的情况下，历史资料将为测线布设提供基本的设计依据。而对于新测区，特别是近岸海域，则可根据陆地地形的变化趋势对海底地形的总体变化规律进行推断，基本规律是变化梯度与岸线方向垂直，这是地壳形成和地质演变过程的规律性所决定的。在宽广的陆架及大洋区域，已由探测和海洋地质学的研究成果表明，自然海底的变化梯度较小，大部分海底的坡度仅处于以分度量的角度量级。因此，为了保证探测效率和探测的规格化，测线通常可沿经度或纬度方向布设。

单波束海底地形测量的测线在按地形梯度方向布设的基本原则下，通常布设为投影平面上的平行测线。但对于海底地貌变化异常区以及特殊地物区域，则主要布设为以特征地貌和地物为中心的放射线，并加大探测密度，以保证测量的完善性与精度。

这里所论测线均指主测线或基本测线，它们是海底地形完善探测的基础。而为了海底地形测量成果的质量检核与评估目的，所布设的检查线（副测线）应与主测线基本垂直，主要是保证主、副测线交叉点的准确确定和探测方向的合理互补。