一些研究者对一些简单的水力劈裂提出了解析解，最经典的解析解为Geertsma和Klerk[157]提出的平面应变条件下的KGD模型的解析解，文中假设岩体为的线弹性的不透水介质，裂纹内的流体为不可压缩的牛顿流体。

图5.5为含有一初始裂纹的裂纹板，裂纹位于板的中间位置。材料参数为杨氏模量E=4MPa，泊松比ν=0.25；岩体的临界能量释放率GC=0.15MPa·m。注射流体流量q0=0.0005m2/s，裂纹内流体的动力黏度μ=0.1Pa·s，注射持续时间t=22s；假设为平面应变条件；计算网格由19×39个四结点四边形单元组成。

图5.5　含有一条边裂纹的板

图5.6为水力裂纹的裂纹长度、注射口的裂纹宽度和流体压力随流体注射时间的变化趋势，从图中可知本章方法得到的数值解能很好地吻合于文献[157]的参考解，可见本章方法能很好地模拟耦合模型的水力劈裂问题。由图5.6的变化趋势可以得到关于水力劈裂的以下结论：

（1）裂纹长度随时间逐渐增长，这是由于水力裂纹的扩展主要依赖于流体压力，在流体压力作用下裂尖的应力强度因子大于岩体的临界应力强度因子时，裂尖在流体压力的驱动下逐渐扩展；

（2）裂纹的最大宽度（注射口的裂纹宽度）随时间也逐渐增大，即随着流体的流入裂纹宽度逐渐增大；(www.daowen.com)

（3）注射口的压力却随着裂纹的扩展而逐渐变小的，即意味着长度越大的裂纹达到相同的宽度时需要的压力较小。

图5.6　（一） 水力裂纹的裂纹长度、注射口的裂纹宽度和压力随时间的变化趋势

图5.6　（二） 水力裂纹的裂纹长度、注射口的裂纹宽度和压力随时间的变化趋势