为了简单起见，假设裂纹在平面应变条件下的各向同性、不透水的线性弹性介质中扩展，流体为不可压缩的牛顿流体。裂纹扩展认为是准静态的。裂纹面内的流体压力P由流动方程决定。流动方程由流体的运动方程、质量守恒方程和润滑方程构成。为了方便表示，在裂纹面上引入局部坐标系：x坐标表示沿着裂纹长度的方向，y坐标表示沿着裂纹宽度的方向。由于流体压力是垂直作用在裂纹面上的，P表示局部坐标系下的裂纹面内的流体压力，则P为位置坐标（x，y）和时间t的函数。由于y方向的流体压力分量和x方向的值相比足够小，可以忽略不计。因此，P可简化为关于x和t的函数，即流动方程可以简化为沿着裂纹长度方向的一维流动，可以用s代替x作为沿着裂纹长度方向的一维局部坐标。在一维流动中，流体流动的连续性方程可以表示为

式中：w为水力裂纹的裂纹宽度，由于水力裂纹面的切向相对位移很小，可以忽略不计，故水力裂纹的相对位移主要表现在法向上，即裂纹的宽度，故本章用w表示，不再采用第2章中的uc，而自然裂纹的相对位移仍采用uc表示；q为裂纹面上的流体流量。

流体在裂纹内流动的润滑方程[165]为

把式（5.9）带入式（5.8），可以用裂纹宽度和压力梯度表示的流量：

流体在注射点和裂尖满足的边界条件如下：

（1）注射点处的流体流量等于注射流量q0，即

（2）裂尖处的裂纹宽度等于0，即

（3）裂尖处的流体流量为0，即(www.daowen.com)

根据式（5.8）和式（5.10），并结合式（5.11）～式（5.13）中的边界条件，裂纹面上的流体压力可以通过沿着裂纹面的积分得到，即

式中：stip为流体尖端的位置；s为裂纹面上的任意位置；μ为流体的动力黏度。

对于某些大型岩体工程，裂纹口的流量不易求得，而水头条件是已知的，此时就采用已知压力P0作为边界条件，式（5.14）同样适用。

对于含有自然裂纹的天然岩体，由于远场应力（本章用远场应力模拟地应力）等外界因素会使得有些自然裂纹处于闭合状态；对于闭合的自然裂纹，就要考虑裂纹面间的摩擦接触。自然裂纹面用Γcl表示，采用第2章中的砂浆法结合增广型Lagrange乘子法表示裂纹面间的接触条件，则考虑裂纹面间接触的虚功方程可以表示为

式中：为增广型Lagrange乘子，un、uτ为自然裂纹面的法向和切向相对位移。

在上式的虚功方程中，含有结点未知量u和裂纹宽度w，这两个未知量需要采用扩展有限单元法近似逼近。