如图2.5所示为含一任意裂纹的扩展有限元计算网格，网格的划分独立于裂纹的位置。XFEM的位移模式是在FEM的位移模式上加入加强函数来反映不连续性。对于裂纹问题，分别采用广义的Heaviside函数（阶跃函数）和裂尖渐进位移场函数加强裂纹贯穿单元和裂尖单元。

图2.5　含一任意裂纹的扩展有限单元网格示意图

（“”标识的结点集为K，“”标识的结点集为K*，“”标识的结点集为J）

如图2.5所示问题的位移逼近可以表示为

式中：ui为结点位移；aj和bαk为加强结点的附加变量；Ni（x）、Nj（x）和Nk（x）为结点形函数；I为离散域内所有结点集；J为形函数支撑域完全被裂纹切割的结点集，为H（x）函数加强的结点集；K为K*与其邻近结点（与K*中结点共享单元的结点）的结点集，为裂尖函数φα（x）加强的结点集；R（x）为线增函数，该函数的引入是为了消除裂尖函数加强引起的混合单元（见图2.5中灰色区域单元）[116]。

对于裂纹贯穿单元的加强函数H（x），取广义的Heaviside函数（阶跃函数）。在裂纹的一侧为+1，另一侧取-1，即(www.daowen.com)

式中：x为考察点；x*为裂纹上距离考察点x最近的点；n为x*点处裂纹的单位外法线向量。

线增函数R（x）的定义为

式中：φα（x）为裂尖加强函数，一般根据裂尖渐进位移场函数确定，反映裂尖应力的奇异性和不连续性。对于各向同性弹性体，φα（x）一般采用下列形式的裂尖分支函数：r和θ为裂尖处的局部极坐标。

在式（2.34）中的四个分支函数中，反映了沿裂纹表面的间断性，其他三个函数是为了改善裂尖附近解的奇异性[133]。