水平集法（level set method-LSM）是Osher和Sethian首先提出的一种确定界面位置和追踪界面移动的数值技术。该方法是将曲线或曲面嵌入到比高一维空间的水平集函数Ψ[X（t），t]。在一定的速度场驱动下，通过求解水平集方程实现曲线或曲面的边界运动分析与跟踪。

移动界面γ（t）⊂R2可表示为函数Ψ[X（t），t]的水平集曲线：R2×R→R，其中γ（t）=｛X∈R2：Ψ（X，t）=0｝。

γ（t）的移动可由Ψ的演化方程得到[132]：

式中：F为界面上点X∈γ（t）在界面外法线方向的速度。

初始条件Ψ（X，0）一般选用符号距离函数表示，在界面一侧其值大于零，在另一侧其值小于零，界面处等于零。

若裂纹不是将区域分成两个离散的子区域，则需采用两个相互垂直的水平集函数描述裂纹，即法向水平集函数Ψ[X（t），t]和切向水平集函数φ[X（t），t]。Ψ[X（t），t]和φ[X（t），t]均为符号距离函数。水平集函数ΨX（t），t可表示为：

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式中：X为考察点；X*为裂纹面上的点；XΓ为裂纹面上距离X最近的点；n为裂纹面上的单位外法线矢量。如图2.4（b）所示，若X位于γ（t）所定义的裂纹的上方，上式符号取正，否则取负。同理，可以定义φ[X（t），t]。

由图2.4（a）可知，Ψ=0且φ＜0为裂纹面；Ψ=0且φ=0为裂纹波前。对于含有两个裂尖的裂纹，需定义两个切向水平集函数。为了计算方便，通常取其最大值，即φ=max（φi）（i=1，2），定义单一的切向水平集函数。

水平集法是追踪界面移动的一种十分方便有效的数值方法，它有如下优点：

（1）可以在笛卡儿网格上对演化中的曲线曲面进行数值计算而不必对曲线曲面参数化；

（2）可以方便地追踪物体的拓扑结构改变。

图2.4　水平集函数构造示意图