接触力的虚功方程和约束方程依赖于Lagrange乘子（λn、λτ）插值场，为了构造Lagrange乘子的插值场，本章采用线段-线段（砂浆法）的方法处理裂纹段，如图2.3所示，以裂纹和单元边界交点、裂尖点、裂纹交叉点和裂纹拐点为结点划分裂纹段单元，图中△为裂纹和单元边界交点，●为裂尖点，■为裂纹拐点，○为裂纹交叉点。根据裂纹与单元边界交点、裂尖点、裂纹拐点和裂纹交叉点处值构造Lagrange乘子场的插值。在含裂尖点的裂纹段，假设Lagrange乘子相同，即产生均匀的接触力。不含裂尖的裂纹段，Lagrange乘子呈线性变化，则Lagrange乘子场的插值可表示为：

式中：M1（ζ）=，ζ为裂纹面上的局部坐标。

考虑插值得到的Lagrange乘子，式（2.12）的虚功方程用矩阵形式可表示为

图2.3　Lagrange乘子示意图

式中：K和F为整体的劲度矩阵和荷载列阵；u为结点位移；λn和λτ为法向和切向Lagrange乘子列阵。

约束方程式（2.13）和式（2.14）用矩阵形式可表示为：

由式（2.17）和式（2.18）中的积分方程可得到Cn和Cτ。

根据虚功方程和约束方程的矩阵形式，假设裂纹面满足黏结接触条件，则系统的控制方程为：

式（2.19）的最后一行对应于黏结接触条件。对于满足滑移条件的点，式（2.19）的最后一行用下式代替(www.daowen.com)

由控制方程式（2.19）可以看出，引入了Lagrange乘子以后，不仅增加了系统的求解规模，而且在控制矩阵中出现了零主元，增加了方程的求解难度。为此，Simo[129]借鉴罚函数法和Lagrange乘子法的优点，提出了求解摩擦接触问题的增广型Lagrange乘子法（在Lagrange乘子场中增加罚函数项），采用增量迭代法求解，Lagrange乘子的存在也避免了罚函数法罚因子过大而引起方程的病态。增广型Lagrange乘子的表达形式为：

式中：为法向和切向增广型的Lagrange乘子；En和Eτ为法向和切向罚因子，罚因子应选取稍大些值，以反应裂纹面间的接触，但过大的罚因子会造成劲度矩阵的病态，罚因子过小时又无法表示裂纹面间的接触不嵌入，通常选为材料弹性模量的102～105倍之间。

摩擦接触是高度非线性的，需要迭代求解。在上述增广型Lagrange乘子法中，通过反复的非线性迭代，直至迭代收敛，收敛时增广型Lagrange乘子的控制方程的解逼近于真实的接触约束力。

假设结构产生一个虚位移v，其虚功方程可以表示为

式中：u为满足位移边界条件的真实位移场函数，u和结构的虚位移v满足：

裂纹面的相对位移为uc=v+-v-，式（2.23）可以改写为

把增广型Lagrange乘子场代入式（2.26），可得