在5.4节所述应用模态叠加原理求解非线性多自由度动力问题是一种十分有效的方法，因为其动力方程中的质量、刚度和阻尼矩阵完全有秩的常数矩阵元，它可通过模态振型正则化转化为互为独立的N个单自由度振动方程式，这时求解将变得十分简单，其求解速度与采用时间历程直接积分方法相比要快得多。

但当这类线性结构边界上存在某种特定的间隙结构时，将会使原有线性结构动力方程变得十分复杂。如结构在间隙Δ距离之外运动时，基本上是自由无接触状态，不会产生任何接触力；但当结构运动使间隙距离突然变为零时，由于间隙之间瞬时的撞击会产生高峰值的瞬态力。

由于这类间隙元的间隙刚度与碰撞作用力之间的关系是强非线性的，图G.1为该间隙元碰撞作用力｛FG｝与间隙距离Δ两端的相对位移｛yA-yB｝的关系图，可表示为

｛FG｝=KG｛yA-yB｝

（G.1）

式中，KG为间隙元上的刚度阵。

图G.1　碰撞力｛FG｝与位移｛y｝之间的非线性刚度关系

解具有间隙元这类刚度强非线性动力问题时，由于刚度矩阵中单元刚度值差距十分大，用直接积分法求解动力方程时可能会出现奇异性，或者必须用十分小的时间步长Δt来多次迭代达到收敛。为此文献［1］曾提出将间隙刚度矩阵KG与对应的间隙碰撞力｛FG｝移至方程右边，即表示为

(www.daowen.com)

式中，M，C，K分别为结构的质量、阻尼和刚度矩阵，均为常数；｛F｝为外载荷列阵；｛FG｝为式（G.1）所示的间隙碰撞力列阵。

和｛y｝分别为结构单元节点上的加速度、速度和位移列阵，对于方程式（G.3）可以作一个时间步长上的假设，设方程右端中｛FG｝项有关间隙刚度上的位移差｛yA-yB｝与方程左端上结构位移｛y｝导前一个时间间隔Δt时，则间隙碰撞力｛FG｝可视为动力方程中作用在结构上的动态外力，其含义是当结构在计算大时刻结构反应时y（t），将间隙元处的｛yA｝和｛yB｝设为｛yA（t-Δt）｝和｛yB（t-Δt）｝代入碰撞力｛FG（t-Δt）｝中，如果取的Δt足够小的话，｛FG（t-Δt）｝与｛FG（t）｝之差与｛FG（t）｝的比值在误差允许范围内时则可认为其解仍是收敛的。这时方程式（G.3）可转化为一个线性的动力方程。

方程式（G.3）按式（5.3.14）将位移｛y｝采用模态振型展开方法将线性动力方程得到与式（5.4.6）相同的具有N个独立的单自由度模态振动方程，即

式中，qj，和ξj定义与5.4节中相同。

fj为广义模态力，这里可演化为

如果地震加速度在结构的基础上输入时，按图5.4.1中的等效原则，可将式（G.5）的fj转化为

式中，［φj］是按式（5.4.3）和式（5.4.4）中用了模态质量归一化后第j阶模态振型。