振子动力微分方程的通解和特解表示在式(B.7)和式(B.8)中,通解与初始条件y(0)和有关,特解则表征为标准的杜哈梅积分形式。由于楼面输入加速度
是一种随机函数形式的时程曲线,因此该积分通常不能由解析函数形式求得。应当采用有限差分格式对杜哈梅积分形式进行数值计算得到其解,设在有限时间从tn变至tn+1的时间间隔Δt足够小时,可从时刻tn求出tn+1的函数值的收敛解。
对于式(B.7)可以tn时刻的解y(tn)和作为在tn+1时刻解y(tn+1)和
代替。其特解的杜哈梅积分中可变换为(tn,tn+1)的积分区间内对τ进行积分。这样由向前差分格式形式可将式(B.7)、式(B.8)转化为时的初始值,即将y(0)和
用y(tn)和
式中,h为从时间tn至tn+1的时间间隔,h=tn+1-tn,
Yn,Yn+1为在时间tn和tn+1时的相对位移y(t)值,
为在时间tn和tn+1时的相对速度
值,
为在时间tn和tn+1时的相对加速度
值。
积分式中基础处输入加速度?可应用两阶向前插值公式,在一个采样周期内
可近似表示的差分格式为(www.daowen.com)
式中,为在时间tn,(tn+hs)时的加速度
值,s为在时间tn至tn+1时间间隔内有关τ时刻的无量纲值。
式中,为分别在时间tn+1,tn和tn+1时的加速度
值,
分别为一阶和二阶差分格式。
将插值公式(B.12)代入式(B.10)、式(B.11)中的x··(τ),对τ进行积分后,经整理可得到十分简洁的表达式:
式中,
按差分格式[式(B.10)~式(B.14)]可计算出不同阻尼比ξ与自振频率f0=时振动子绝对加速度时程(t1,t2,…,tN)的离散值,从时程中求出加速度幅值中的最大峰值。该最大峰值就是对应阻尼比ξ与自振频率f0所对应的加速度反应谱,固定某阻尼比ξ后可获得如图B.2中虚线所示的加速度反应谱曲线。
即
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