1)强迫振动模态方程与解
设单跨梁的刚度为均布EI,单位长度质量也为均布ρA,跨长为L,截面积为A。在梁的强迫振动下还需考虑材料阻尼效应,设内阻尼与应变速率成正比,即梁的轴向应力式(5.5.3)可转化为
梁的振动方程式(5.5.7)则变为
方程中p(x)为外载f(t)的沿梁长x上的无量纲分布函数,f(t)为作用在梁上的单位长度分布力(N/m)。
仍同式(5.5.9),将位移w(x,t)采用振型分离方法作分离:
式中,φi(x)为梁的第i个模态振型函数,qi(t)为主坐标。将式(5.5.61)直接代入式(5.5.60),方程两边左乘振型函数φj(x)并对梁长0~l积分。则得
根据5.5.4节振型函数φi(x)的正交性质,由式(5.5.45)可知:
式中,Mj,Kj和Cj均定义为第j阶的模态质量、模态刚度和模态阻尼,代入式(5.5.62)后得到第j个模态独立的单自由度振动方程为
将分别代入标准单自由度振动方程得
这里,模态质量、模态刚度、模态阻尼与模态力分别由梁振型函数φj(x)求得
注意式(5.5.66)是针对外力p(x,t)直接作用在梁截面上,如果梁支承处有地震位移(或加速度)波形输入时,需要采用图5.4.1中关于地震基础输入的等效分析方法,即用替代式(5.5.66)中的Pj(t)。则模态正则方程式(5.5.67)改为类似式(5.4.6)的形式,由于假设各支承处的输入加速度
是相同的,在梁上各点的输入加速度与位置x无关,因此分布函数p(x)=1。这时模态振动方程为
式中,为等效输入加速度,ηj为振型参与系数。
这里qj(t)是梁相对于基础支承运动xj(t)的位移,而梁的各位置上的绝对加速度应类似5.4.4节方法求得
式中,为第j阶模态振型下的输出绝对加速度,qyj(t)和
则为第j个模态振型下的输出相对于基础xj(t)的位移与速度,即等于方程式(5.5.69)中的qj(t)的脚标改为yj。
则梁上各坐标点x上输出总的相对位移w(x,t)、相对速度和绝对加速度
可表示为
梁各截面上的法向弯矩和法向应力可由式(5.5.4)得到
模态方程(5.5.69)的解qyj(t),可按式(5.4.8)、式(5.4.9)或式(5.4.11)得到,
则可由式(5.4.10)或式(5.4.11)求得,这里不再重复列出。
2)谐波激励的反应
当梁支承处输入时程加速度,如式(3.4.13)所示采用三角级数模型来模拟合成的人工地震波时,按式(5.5.69)右端项中
可表示为
(www.daowen.com)
式中,=4S(ωk)Δω=2G(fk)Δf,k=1,2,…,N。
S(ωk),G(fk),Δω,ωk和φk的含义均与式(3.4.14)和式(3.4.15)相同。
将代入式(5.5.69)可求得每个模态振型j的等效加速度为
将式(5.5.73)代入式(5.4.11)单自由度强迫振动解,则可得到各模态解qyj(t),
从式(5.5.75)同样可看出qyj(t),结果均为3部分组成,第1部分属于纯初始条件所确定的自由振动反应项,由于阻尼比ξj使该时程很迅速衰减。第2部分属于伴随强迫振动反应项,此项也随时间增长而迅速衰减。第3部分才属于真正的强迫振动反应项,其反应按激励
中圆频率ωk的谐振而变化。
当梁结构的某个或几个固有圆频率ωj与基础激励谐振圆频率ωk相等时,该系统会发生共振,将ωk=ωj与对应ak代入式(5.5.75)后得到共振状态下的解为
从上式结果可清楚看出,系统在共振时伴随强迫反应项与基础输入的谐振振幅值ak相比均放大了倍。将qyj(t),
代入式(5.5.68),可得到梁位置x处上各个总的输出量,因各阶模态坐标中仅是第j阶模态的反应发生共振,可近似将共振ωj=ωk处的qyj(t),
和
中不随阻尼比衰减的第3部分单独取出,则w(x,t),
和
可表示为
各截面上弯矩和轴向应力可表示为
3)随机波激励的反应
当梁的支承处输入的加速度假设为一种随机信号波形时,即模态振动方程式(5.5.69)的右端项
也可作为随机信号来处理,如果输入
设为均值为零的平稳各态历经的高斯过程,其输入自功率谱密度为
,则方程中每阶模态j对应的输出
)的自功率谱密度按式(3.4.48)和式(3.4.54)表示为相对位移输出自功率谱密度为
式中,为
各阶所对应的等效加速度自功率谱密度函数,
ηj为式(5.5.69)所示的振型参与系数;ωj,ξj为梁各阶模态的固有圆频率的模态阻尼比;ω为输入自功率谱密度函数
中的频率变量。
对于绝对加速度各阶模态输出自功率谱密度函数可由式(3.4.55)作转化。
当梁的固有频率ωj互相离得较远,且阻尼比ξj很小情况下,可以假定各模态反应是统计上独立的。梁上任意点的位移w(x,t)功率谱密度函数Sw(x,ω)可认为各振型分量功率谱密度函数的线性组合,即
梁上任意点的绝对加速度功率谱密度函数为
其输出相对位移w(x,t)和绝对加速度的均方值为
梁的轴向应力反应均方值为
当输入加速度为一白噪声波形时,可知
为常数,则输出可参照式(3.4.79)结果为的频带宽度比|H(jω)|2宽得多时,那么输入功率谱密度函数
如果输入功率谱密度不是白噪声时,若
就可以用共振点ω=ωj处的
来替代,则输出的均方值可近似表示为
当振型阶数j增大时,上述的级数收敛很快,仅出现较低次的振型。另外,其反应均方值是坐标x的函数,在梁上如出现振型函数的节点时,将不会出现相应的反应值。
免责声明:以上内容源自网络,版权归原作者所有,如有侵犯您的原创版权请告知,我们将尽快删除相关内容。