1）简支梁

图5.5.2　简支支承的梁

简支梁的边界条件为两端支承的挠度和弯矩为零（见图5.5.2），即

φ（0）=φ′（0）=φ′（l）=φ″（l）=0

（5.5.14）

将式（5.5.14）代入式（5.5.12）第2式，得齐次特征方程为

求得前两式C=E=0，后两式：

由于梁做自由振动，因此式（5.5.16）必须是方程的系数行列式为零，即

可得到

sin（λl）=0

求得

由式（5.5.13）可求得梁的固有圆频率ωi为

将λ=代入式（5.5.16）后得到对应ωi自由振动的振型φi为

在梁上任一点x以及在任一时刻t的挠度wi（x，t）为

2）两端固支梁

图5.5.3　两端固支梁

其固支梁的边界条件（见图5.5.3）为

φ（0）=φ′（0）=φ（l）=φ′（l）

（5.5.20）

由此得到齐次特征方程为(www.daowen.com)

式（5.5.21）如存在非零的特征值解，其系数行列式为零，即

行列式展开后得特征方程为

cos（λl）·ch（λl）=1

（5.5.22）

求解式（5.5.22）可用数值解法，第一特征值为λl=4.730 0，后面各阶接近于cos（λl）=0的解，因此可近似表示为

将λil代入式（5.5.21），求得B，C，D和E，然后代入式（5.5.12），得到两端固定梁的振型为

3）悬臂梁

悬臂梁的支承条件为一端固定，另一端自由（见图5.5.4）。

图5.5.4　悬臂梁

φ（0）=φ′（0）=φ″（l）=φ‴（l）=0

（5.5.25）

同理可得到特征值方程为

cos（λl）·ch（λl）=-1

（5.5.26）

近似解为

相应的振型为

对于其他的边界条件，也可以得到固有频率与振型，这里不再赘述。6种不同边界条件下单跨梁的特征值λi、振型φi（x）及其φi的积分特性如表5.5.2所示。表中模态振型φi（x）为

φi（x）=Bsin（λix）+Ccos（λix）+Dsh（λix）+Ech（λix）

（5.5.29）

正则化的标准振型定义为