将坐标变换公式（5.2.29）代入式（5.3.1）方程，并左乘ΦT，得到

将式（5.2.21）、式（5.2.22）和式（5.3.7）代入式（5.4.1），整理后得

式中，Fp为模态力。

Fp=ΦTF

（5.4.3）

式（5.4.2）两边左乘模态质量逆阵M-1p后还可改写为式（5.3.9）单自由度振动方程形式。

式中，fj为第j个模态下的模态力分量。

(www.daowen.com)

非齐次方程式（5.4.4）的通解包括本身的特解和对应齐次方程式（5.3.9）的通解。其解的方法可参照3.3节。

当地震输入为振动系统的基础输入时，单自由度分析模型的等效条件可详细对照图5.4.1的解释后得到如下等效条件：

（1）对多自由度自由振动系统而言，地震系统所有的固有模态参数均相同，包括系统的固有圆频率Ω、模态质量M、模态刚度K、模态阻尼比C、对应的模态振型Φ和模态主坐标q等均保持不变。

（2）对于多自由度强迫振动系统方程式（5.3.1）的右端输入应将输入力F项用项给与等效，或者将模态输入力fj用给与等效（j=1，2，…，n）即可。

（3）多自由度强迫振动方程式（5.3.1）的左端输出项y（或｛yj｝）或模态主坐标｛qy｝（或qyj），对于地震系统而言，y表示相对于地面运动x或｛x（t）｝的相对坐标，还需注意地面运动输入｛x（t）｝是单点输入还是多点输入，这涉及相对运动y的坐标系统定义。而质点的绝对加速度应采用方法或者在模态坐标下求得。

式中，为第j个模态振型下输出绝对加速度，而总输出绝对加速度为

图5.4.1　地震基础输入的等效分析