首先从式(3.3.6)作为相对位移y(t)入手,求解y(t)时可设为其解分为通解y1和特解y2的线性叠加。
y=y1+y2
(3.3.9)
通解y1从齐次方程中求得,即
其通解可参照3.2.4节中自由振动的解得到
式中,p=为系统固有圆频率;A1和B1为积分常数,可根据总位移y在初始时间t=0时的位移y0和速度
求得。
对于式(3.3.6)的特解y2,可以采用通解y1中的常数变量方法求解,即将通解y1中积分常数A1和B1假设为是时间t的函数,即方程通解(3.3.11)可改为
y2(t)对t求导得
令
则(t)表达式与式(3.3.12)形式上完全相同,可表示为
同理对求导可得到
式中,
将式(3.3.13)、式(3.3.16)和式(3.3.17)代入振动方程式(3.3.6)后,考虑到A2和B2满足齐次方程解的条件,经整理后得
由式(3.3.15)与式(3.3.19)可得到二元一次代数方程式。(www.daowen.com)
这里第二个方程还可化简为
式(3.3.20)变成为
由此可求得为
将A2,B2定为(0,t)域内对τ的定积分后,得到A2和B2为
代入式(3.3.13)并整理后得到特解y2(t)为
将A2,B2代入式(3.3.14)整理后得
将y2和代入式(3.3.7)后可得绝对加速度
的解:
将式(3.3.11)和式(3.3.12)得到的通解y1,,式(3.3.25)和式(3.3.26)得到的特解y2,
分别代入式(3.3.9)得到y和
的全解为
式中,A1和B1积分常数由初始条件t=0时y=y0和=0来确定,从式(3.3.28)和式(3.3.29)注意到特解y2和
在t=0时,y2=
=0,因此A1和B1常数与3.2.4节中自由振动解完全相同,由式(3.2.13)可推算得到
代入式(3.3.28)和式(3.3.29)后整理得到全解y和为
绝对加速度为
也可用类似式(3.2.24)更简洁的表达式来表示:
式中,常数
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