当ξ＜1时，即小阻尼条件下，很容易求解方程（3.2.3）的两个根为

式中，p=为系统的共振频率。

式（3.2.2）位移和速度的解为

A，B为积分常数，可由初始条件t=0时z=z0和代入式（3.2.12）后求得。

则通解为

通解式（3.2.14）通常有下列两种表示形式。

（1）由初始条件直接表示。

（2）由更简洁的方法表示。

在式（3.2.12）中常数A和B由幅值C和相位角φ来替代。

设幅值 C=

相位 sin φ=

cos φ=

代入式（3.2.14）得到z的简易表达式为

由此对式（3.2.16）求导后可求得速度为

设：

加速度可由式（3.2.2）直接求得

设：

代入式（3.2.18）整理得

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式中，p=

将位移、速度与加速度汇总得

从以上两种不同表达形式的解可清楚地看出，该系统的运动属于小阻尼作用下的振动，其振动频率p=小于系统无阻尼下的固有频率ω0。对于何种初始条件下，系统的位移、速度与加速度幅值随时间变化均按指数形式衰减，最终趋向零位（见图3.2.4）。

图3.2.4　小阻尼下的对数衰减曲线

从图3.2.4可明显观察到，在对数衰减曲线上任意相邻两次振动的振幅z1和z2之比为

由于正弦函数满足周期性质，故上式简化为

该比值取e为底的对数后称为“对数衰减率”，即

式中，衰减振动的周期Td为

将Td代入式（3.2.21）后得对数衰减率为

当ξ≪1时，近似为

δ=2πξ

（3.2.24）

在对数衰减率曲线上有连续n次振动时，振幅z1，z2，z3，…，zn有如下关系：

则

两端取对数得

式（3.2.26）表示，小阻尼下，只要测量衰减振动中的第1次和第n+1次的振幅之比，即可估计出对数衰减率，从而按（3.2.24）确定阻尼比的大小。