自功率谱密度函数定义为随机信号数据x（t）通过中心频率为f、带宽为Δf的窄带滤波器后，获得时间历程x（t，f，Δf）的均方值。当带宽Δf趋向于零、平均周期T趋向无穷大时，其均方值f，Δf）的极限称为随机信号x（t）的功率谱密度函数（PSD）。其表达式为

自功率谱密度函数Gx（f）恒为一个非负的实数数值。它的一个重要的性质是与自相关函数相互成傅里叶变换关系。

而Rx（τ）为Gx（f）的傅里叶反变换，即

在不同书籍中使用的功率谱密度函数表达方式是不同的，最常见的是采用圆频率ω作为变量定义为双边功率谱密度函数Sx（ω），Sx（ω）与Rx（τ）之间的傅里叶变换关系为

双边功率谱密度函数Sx（ω）与单边功率谱密度函数Gx（f）之间关系式为

另外，也有文献将Sx（ω）中变量圆频率ω用频率f来表示，其f的区域扩展至（-∞　＜ω＜∞）范围。这时Sx（f）与Gx（f）的关系为

综上，有关系式

对于Sx（ω）和Gx（ω）之间的关系如图2.4.5所示，即将偶函数Sx（ω）的后半部折算到右边再叠加起来就等于Gx（ω），乘上2π就等于Gx（f）。

图2.4.5　功率谱密度函数Sx（ω）和Gx（ω）之间关系

要注意的是，不同书籍和文献中所采用的双边功率谱密度函数Sx（ω）与相关函数Rx（τ）之间的傅里叶变换与式（2.4.21）基本形式有差别，附录H专门论述不同傅里叶变换格式对PSD估计是没有任何影响的。

功率谱密度函数与均方值之间的关系可用如下方法来推导。设Ax（ω）为x（t）的傅里叶谱，为复函数。则Ax（ω）的傅里叶反变换为

x（t）的均方值定义为

式中，A*（ω）为A（ω）的共轭复数，即A*（jω）=A（-jω）。(www.daowen.com)

由式（2.4.28）可得到

同时代入式（2.4.27）得到

由式（2.4.22）中Gx（f）与Sx（ω）的关系，可得

图2.4.6展示了6种有代表性的Sx（ω）和Rx（τ）之间关系图汇总结果，图2.4.6（e）中功率谱密度等于常数［Sx（ω）=常数］，称之为“白噪声”，其Sx（ω）和ω轴所围的面积，即均方值为无限大，是实际上不存在的随机过程。但由于Sx（ω）的表达式简单，在理论分析上还经常得到应用。

图2.4.6　自相关函数与功率谱密度函数对应关系

［例3］ 图2.4.7给出了图2.4.2中4个相同时间历程所对应的功率谱密度函数S（ω）对于频率ω的关系图。图2.4.7（a）表示式（2.2.1）正弦波的功率谱密度函数：

图2.4.7　功率谱密度函数

（a）正弦波；（b）正弦波加随机噪声；（c）窄带随机噪声；（d）宽带随机噪声

在ω=0～∞范围的Sx（ω）积分的均方值为

图2.4.7（d）所示的功率谱密度曲线比较宽，也比较平滑，这也是取“宽带”这名词的实质依据。如果是白噪声，则Sx（ω）=常数，即在整个ω区域上是均匀分布的。

图2.4.7（b）表示简单正弦波加随机噪声的功率谱密度函数相加的Sx（ω）。

图2.4.7（c）表示窄带噪声功率谱密度函数，具有正弦波的那种尖峰，但又相似于随机噪声那样平滑过渡。

图2.4.7所示的4个例子再次表明从正弦波到宽带随机噪声的功率谱密度函数具有明显变化的趋势。

功率谱密度函数很重要的用途是用来建立数据信号的频率特性。如振动系统反应的传递函数为H（jω）时，假设输入是一个平稳随机信号的Sx（ω），则振动系统的反应输出也将是一个平稳随机信号的Sy（ω）。

Sy（ω）=|H（jω）|2Sx（ω）

（2.4.33）