1.竖曲线的概念

在铁路、公路线路纵断面上，两相邻坡段的交点称为变坡点。在变坡点处坡度发生急剧变化，为了行车安全，要在其两相邻坡段之间加设竖曲线。竖曲线按顶点的位置可分为凸曲线和凹曲线，如图5.4.1（a）所示。按性质又可分为圆曲线形竖曲线和抛物线形竖曲线。用抛物线过渡在理论上似乎更为合理，但在实际上用圆曲线和用抛物线是非常接近的，因此，我国竖曲线均采用圆曲线。

2.竖曲线要素计算

（1）线路竖向转坡角。

相邻两坡段的坡度代数差，称为转坡角。如图5.4.1（b）所示，由于线路设计的允许坡度一般都很小，所以可以认为ω 等于相邻坡道之坡度代数差，近似计算公式为：

式中 ω——正时为凸曲线，负时为凹曲线。

坡度i在上坡时为正，下坡为负。相邻坡段的坡度代数差是考虑了坡度符号后的差值。

（2）切线长。

切线长T =Rtan(ω/2)，因ω 很小，则有T=R×ω/2，根据式（5.4.1），竖曲线计算公式为：

（3）竖曲线长。

（4）外矢距。

因为转坡角很小，外矢距采用近似计算公式为：

3.竖曲线上各点高程

由于ω 角很小，如图5.4.2所示，T、x相当于水平距离，y相当于高差，从图中可得

图5.4.2　竖曲线计算

因y与x相比，y值很小，故y2可略去不计，则

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式中 Hi——曲线上任意点高程；

H′i——该点在切线上的高程，也就是坡道线上的高程，称为坡道点高程；

yi——该点的高程改正。当竖曲线为凸形曲线时取“－”号；当为凹形曲线时取“＋”号。

坡道点高程Hi′可根据变坡点高程H0、坡度i及该点至变坡点的距离求算，计算公式为：

式中，自变坡点至待求点为下坡时，(T-xi)×i取负值，上坡时取正值。

根据以上式（5.4.6）、（5.4.7），竖曲线任一点高程计算式为：

【例5.4.1】 已知线路一方为上坡，其坡度为＋2.5%，一方为下坡，其坡度为－4.981‰，变坡点里程为K6＋470.00，高程H0为41.299 m，竖曲线切线T为239.848 m，半径R为16 000 m。试计算竖曲线上里程为K6＋435和K6＋635的高程。

【解】（1）计算竖曲线起终点的里程：

终点里程＝变坡点里程（K6＋470）＋239.848＝K6＋709.848

起点里程＝变坡点里程（K6＋470）－239.848＝K6＋230.152

（2）计算竖曲线各点高程：

由起终点里程、变坡点里程及待求点里程可知：K6＋435在坡度为＋2.5%段，K6＋635在坡度为－4.981‰。由此可算出：

XK6＋435＝6 435－6 230.152＝204.848（m）

XK6＋635＝6 709.848－6 635＝74.848（m）

HK6＋435＝41.299－（239.848－204.848）×0.025－204.8482/（2×16 000）

＝39.113（m）

HK6＋635＝41.299－（239.848－74.848）×0.004 981－74.8482/（2×16 000）

＝40.302（m）

竖曲线上其他点计算方法与此相同。