水力耦合问题的基本末知量:位移u和v、孔隙气压力ua和孔隙水压力uw都是随时间变化的。在任何时刻，整个研究区域上的未知量都可以用区域内的有限个节点的未知量来近似:

式中:Nj——插值函数，与划分单元的形状有关;

m——单元节点数;

uj——节点j在x方向的位移;

vj——节点j在y方向的位移;

uaj——节点j的孔隙气压力;

uwj——节点j的孔隙水压力。

由式(5-17)和式(5-18)，可以将这两个关系式由一个式子来表示:

式中:uT=［u，v］;

N=［N1，N2，…，Nm］;

应力-应变关系可以用矩阵形式表示为:

式中:εT=[εx，εy，γxy];

将式(5-21)代入式(5-22)，可以得到用节点位移表示的应变:

式中:B=［B1，B2，…，Bm］;

5.3.1.1　平衡方程的空间离散

设研究区域为Ω，边界面为S。边界面由S1和S2两部分组成。其中S1上的位移为u*，S2上的面力为T。对任何随意的虚位移δu(在S1上有δu=0)，都满足虚功原理(虚功原理表述)，即:

式中:F=［Fx，Fy］，表示区域Ω的体力向量。

地下水位变化对路基的影响是一个瞬态过程，在任何时间增量步内都必须满足平衡方程。因此，式(5-24)可以写成对时间的导数形式，即:

将式(5-21)和式(5-23)中的位移和应变均改写成虚位移和虚应变的形式，即:

将式(5-26)和式(5-27)代入式(5-25)，得到:

式(5-28)中左边可以改写成:

将应变-节点位移的关系式，即式(5-23)代入本构关系式(5-7)，并将代入后的本构关系式以及用节点孔隙气压力和孔隙水压力表示的孔隙气压力和孔隙水压力代入式(5-29)，然后再将式(5-29)代入式(5-28)，得到

式(5-30)中的主要未知变量是在某一时刻的节点未知量向量。式(5-30)可以写成:

式(5-31)可以写成以下的矩阵形式，即:

式中:分别为节点位移，节点孔隙气压力和节点孔隙水压力对时间的导数;

［KS］=土体结构的刚度矩阵;

［KW］=，水相的刚度矩阵;(www.daowen.com)

［KA］=)NdΩ，气相的刚度矩阵;

［G］=，由体力和外力转换的节点荷载向量。

在这里认为是土中的气相是连续的，且与外界大气压相连通，则有ua=0。因此消去式(5-32)中的孔隙气压力项，则式(5-32)可简化成:

5.3.1.2　水相连续性方程的空间离散

水相的本构关系和孔隙中水的流动定律可以表示为:

其中:

水相的连续性方程可以写成:

设研究区域为Ω，其边界面为S。边界面S由和两部分组成。作用在边界面上的边界条件是孔隙水压力，作用在边界面的边界条件是水的流量，用关系式可表示成:

式中:n表示边界面的法线方向;

φw表示作用于边界面上的孔隙水压力。

使用Galerkin残差加权法对水相连续性方程(式(5-36))进行积分，得到以下的方程式:

又有:

将式(5-40)代入式(5-39)得到:

对式(5-41)中的第二项运用散度定理，得到

将式(5-42)中的S分成和两部分，并将边界面上的边界条件代入得到

选取使在边界面上的Nj(x，y)等于0的N，那么式(5-43)可以进一步简化为:

将Darcy定律代入式(5-44)得到

将应变与节点位移的关系式，以及孔隙气压力和孔隙水压力与节点孔隙气压力和孔隙水压力的关系式代入本构关系，得到

将式(5-46)代入式(5-45)得到

将式(5-47)进行重组，得到

式(5-48)也可以写成矩阵形式:

式中:

5.3.1.3　有限元法的耦合方程

忽略土中的气相，水力耦合的方程式可以写成:

由式(5-50)和式(5-51)，可以形成一个更简化的耦合方程式组:

其中: