离散型分布常用于描述一定的时间间隔内事件的发生数，如某交叉口引道入口一个周期内到达的车辆数、某路段一年内发生的交通事故等。它用于描述在固定长度的时段内到达某场所的交通量的波动性。交通工程中常用的离散型分布主要有三种：泊松分布、二项分布和负二项分布。

1. 泊松分布

1）基本公式

式中：t——间隔时间或间隔距离，简称为计数间隔；

P (k)——在计数间隔t内到达k辆车的概率；

λ——单位时间的平均到达率或单位距离的平均到达率；

e——自然对数的底，取值为2.718 28。

若令m=tλ为在计数间隔t内平均到达的车辆数，则式（5-10）可写为

当m已知时，应用式（5-11）可求出在计数间隔t内恰好有k辆车到达的概率。除此之外，还可计算出如下的概率值。

到达车辆数小于k辆车的概率：

到达车辆数小于等于k辆车的概率：

到达车辆数大于k辆车的概率：

到达车辆数大于等于k辆车的概率：

到达数至少是l辆车但不超过n辆车的概率：

用泊松分布拟合观测数据时，参数m按下式计算：

式中：kj——计数间隔t内到达的车辆数；

fj——计数间隔t内到达kj辆车的间隔数；

g——观测数中不同kj的分组数；

N——观测的间隔总数。

2）递推公式

3）适用条件

在交通工程中，泊松分布最早用于描述一定时间内到达车辆数的分布规律。当交通量不大，没有信号干扰时，即车辆是随机的，此时应用泊松分布能较好地拟合观测数据。

由概率论的知识可知，泊松分布的均值M和方差D是相等的，并且样本的均值m和样本方差S2分别为其无偏估计。因此，当S2/m之比近似等于1时，泊松分布适用；当S2/m显著地不等于1时，意味着泊松分布拟合不合适。实际应用中，常以此作为能否应用泊松分布拟合观测数据的初始判断依据。

S2可按下式计算：

4）泊松分布的应用

【例5-2】 某交叉口信号周期为90 s，某相位的有效绿灯时间为45 s，在有效绿灯时间内排队车辆以1 200辆/h的流量通过交叉口，假设交叉口上游车辆到达率为400辆/h，服从泊松分布。求：

（1）一个周期到达车辆不超过10辆的概率；

（2）到达车辆不致两次排队的周期最大百分率。

【解】（1）由于车辆到达率为400辆/h，因此一个周期内平均到达车辆数为

所以，一个周期内到达车辆数不超过10辆的概率为

（2）由于到达车辆只能在有效绿灯时间离开，因此一个周期能离开最大车辆数为(1 200/ 3 600)×45=15（辆），如果某周期内到达车辆数大于15辆，则最后到达的(N-15)辆车就不能在本周期通过，而要在下一个周期通过，以致二次排队。所以，不发生二次排队的概率为

本例的车流如果按每周期10辆均匀到达，则任何车辆最多在本周期排一次队就能通过交叉口，实际车流的到达是时疏时密的，使绿灯时间不能充分利用。这样，从平均角度来看，每周期都能顺畅通过的车流实际上却会遇到一些不顺畅的周期，从中可以看出，概率分布的理论和方法是从随机的角度揭示车流运行的内在规律的。

2. 二项分布(www.daowen.com)

1）基本公式

其中：

通常记p=(λt )/n，则二项分布可写成

式中：n、p——二项分布参数，0＜p＜1。

用式（5-21）可计算在计数间隔t内恰好到达k辆车的概率。除此以外，还可计算如下概率。

到达车辆数小于k的概率：

到达车辆数大于k的概率：

其余类推，这里不再赘述。

由概率论可知，对于二项分布，其均值M =np，方差D =np（1-p ），p、n可按下列关系式估算（n值的计算结果取整）：

式中：m、S2——分别为样本的均值和样本方差。

2）递推公式

3）适用条件

车流比较拥挤、自由行驶机会不多的车流用二项分布拟合较好。由于二项分布的均值M大于方差D，因此当观测数据表明S2/m小于1时二项分布适用。

4）应用

【例5-3】 某交叉口最新的改善措施中，欲在引道入口设置一条左转弯候车道，为此需要预测一个周期内到达的左转车辆数。经研究发现，来车符合二项分布，并且每个周期内平均到达25辆车，有20%的车辆左转。求：

（1）左转车的95%置信度的来车数；

（2）到达5辆车中1辆左转车的概率。

【解】（1）由于每个周期平均来车数为25辆，而左转车只占25%，因此左转车的分布为二项分布：。因此，置信度为95%的来车数X0.95应满足：

计算可得P(k≤9)≈0.928，P(k≤10)≈0.970。因此，可令X0.95=9，即左转车的95%置信度的来车数为9。

（2）由题意可知，到达左转车服从二项分布，即

所以

因此，到达5辆车中有1辆左转车的概率为0.395 5。

3. 负二项分布

1）基本公式

式中：p、β——负二项分布参数，0＜p＜1；

β——正整数。

同样地，用式（5-27）可计算在计数间隔t内恰好到达k辆车的概率。到达车辆数大于k的概率可由下式计算：

其余类推，这是不再赘述。

由概率论可知，负二项分布的均值M=β（1-p）/p ，方差D=β（1-p）/p2，p、β可由下列关系式估算（β值计算结果取整）：

2）递推公式

3）适用条件

研究表明，当观测到达车辆数据的方差很大时，特别是当计数过程包括高峰期和非高峰期时，交通量变化较大，此时适用于用负二项分布拟合观测数据，描述车辆的到达。当计数间隔较小时，也会出现大流量时段与小流量时段，也可用负二项分布拟合观测数据。从另一方面看，S2/m大于1时，负二项分布适用。