由于欧拉角具有物理含义，并且能够被陀螺仪直接测量，因此本书采用欧拉角表示机器人的姿态。设由惯性坐标系到本体坐标系的旋转矩阵Ri用欧拉角表示为：

式中　ψi——偏航角；

θi——俯仰角；

φi——横滚角。

假设AUVi的惯性坐标系与本体坐标系原点重合，由惯性系到本体系首先绕Z轴转动ψi，在转动后的坐标系中，绕Y轴转动θi，在转动后的坐标系中，再绕X轴转动φi，结果与本体系重合。该旋转顺序不能随意改变［23］。

在上文中，得到了抽象的控制量ui1、ui2、ui3、ui4、ui5、ui6，为了实现物理系统，需要得出AUVi的控制变量与ui1、ui2、ui3、ui4、ui5、ui6的关系。

为此，需要求出AUVi旋转矩阵Ri的导数。设本体坐标系中有一点M与本体系固连，则M在本体坐标系中位置向量r为：

AUVi在本体坐标系下的角速度为：

即本体坐标系相对于惯性坐标系以角速度ωi进行转动。r在本体坐标系与惯性坐标系中的投影分别为［xi，yi，zi］T和［x，y，z］T，则：

对其求导，可得：

由于M点在本体系上的投影保持不变，根据式（9-64），右式可变为：

将速度v＝ωi×r写成沿惯性坐标系投影的矩阵形式，有：

其中，S（·）定义为一个斜对成矩阵算子，对于∀向量m、t，满足：

则式（9-67）中的S（ω）表示为：

式中，（ωx，ωy，ωz）为ωi在惯性坐标系下的投影，S（ω）是ωi在惯性坐标系投影的斜对称矩阵。另外，有：

将速度v＝ωi×r写成沿本体坐标系投影的矩阵形式，有：

得到：

所以：

旋转矩阵的元素导数有如下关系：

根据式（9-73）中的模型可知：

将式（9-74）求导可得：

代入式（9-74）：

同理，对于有：

由于旋转矩阵Ri是正交的，那么：

令m＝ai、t＝ni，有：

得到：

同理，令m＝ni、t＝si，则：

代入可得：(www.daowen.com)

根据Healey等人的研究［24］，有如下关系：

其中，I为单位矩阵；k为单位列向量；β为绕k旋转的某个角度。定义：

立即推知：

将式（9-85）代入式（9-83）可知：

得到：

并且由式（9-84）和式（9-85）可知：

定义：

将式（9-87）和式（9-88）代入式（9-89），可知：

可得：

将式（9-91）代入，得到：

根据Lee等人的推导［25］，有：

将式（9-91）和式（9-92）代入式（9-93）中，得：

由式（9-94）可知：

接着，根据式（9-95）可知：

进而得到：

根据式（9-97），可以写成行列式的形式：

所以有：

即：

综上分析，可得：

注意到ui1、ui3、ui5与vix、viy、viz之间成三元一次方程关系，写为

写为矩阵形式：

由于Ri是正交矩阵，根据线性非齐次方程组解的性质，公式（9-102）具有唯一解。因此，当ui1、ui3、ui5确定后，即可确定AUVi在本体系三个方向上的速度。设：

解之，得：

接下来求解ωix、ωiy、ωiz，由于：

解之，得：

综上，得到了由相关控制输入物理量到控制器虚拟中间变量的关系。