当观测值中剔除了粗差，排除了系统误差的影响，或者与偶然误差相比系统误差处于次要地位后，占主导地位的偶然误差就成了我们研究的主要对象。如前所述，偶然误差的随机性是表面的，对大量观测结构进行分析后可以看出偶然误差的内在规律。

例如，在相同的观测条件下，对358个三角形的内角进行了观测。由于观测值含有偶然误差，致使每个三角形的内角和不等于180°。根据式（7-1）计算出358个三角形内角和的真误差，并取误差区间为0.2″，以误差的大小和正负号，分别统计出它们在各误差区间内的个数k和频率k/n，结果列于表7-1。

表7-1　三角形内角和观测实验偶然误差的区间分布表

续表7-1

图7-1　误差分布直方图

从表7-1中可看出，绝对值最大的误差不超过1.6″；小误差出现的频率比大误差高；绝对值相等的正、负误差出现的个数近于相等。由此实验统计结果表明，当观测次数较多时，偶然误差具有如下特性：

（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度。

（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会大。

（3）绝对值相等的正误差与负误差出现的机会相等。

（4）当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零，即：(www.daowen.com)

上述第四个特性说明，偶然误差具有抵偿性，它是由第三个特性导出的。

将表7-1中所列数据用图7-1表示，可以更直观地看出偶然误差的分布情况。图中横坐标表示误差的大小，纵坐标表示各区间误差出现的频率除以误差区间的间隔值dΔ。这样每个区间上的矩形面积就代表误差出现在该区间的频率。

当观测次数无限增多，即n→∞时，如果将误差的区间间隔无限缩小（dΔ→0），则各区间内的频率将趋于稳定而成为概率，图7-1中各矩形顶边所形成的折线将变成一条光滑而对称的曲线，称为误差分布曲线。在概率论中，把这种误差分布称为高斯正态分布密度曲线。误差分布曲线上任一点的纵坐标y都是观测误差Δ的函数，即：

图7-2　误差分布曲线

其中σ为观测误差的标准差，σ的大小体现了观测误差的离散特征，也反映出测量成果精度的高低。

如图7-2，高斯正态分布密度函数是一个偶函数，对称于纵轴；Δ越小，f（Δ）越大；Δ＝0时，布函数在-σ和＋σ之间的面积是个定值（0.683）；在-2σ和＋2σ之间的面积是0.955；在-3σ和＋3σ之间的面积是0.997。图7-3表示了3组数据的观测误差绘制成的误差分布曲线，由图可知，σ越大函数曲线越平缓，误差分布比较分散，测量结果精度也越低；σ越小函数曲线越高陡，误差分布集中，测量结果精度也越高。

掌握了偶然误差的特性，就能根据带有偶然误差的观测值求出未知量的最可靠值，并衡量其精度。同时，也可应用误差理论来研究最合理的测量工作方案和观测方法。

图7-3　3组观测数据的误差分布曲线