基于振型分解的数值积分法简单易操作，但只适用于可以解耦的多自由度体系。下面介绍一种无须振型分解，对主坐标系统下耦合运动方程直接积分求解的方法——直接积分法。

①动力凝聚后，运动方程为：

若已经取得了t时刻结构响应的所有状态。选定时间步长Δt，并要求结构在计算起点保持平衡，即式（a）成立。而在t+Δt时刻，结构也应满足动平衡，即式（b）也应成立。

二式相减，即式（b）-式（a），有增量平衡方程成立：

对增量平衡方程式（c）求解的基本方法是线性加速度法。

②假定在每个Δt增量内（为此时的时间变量，变化范围为从t~t+Δt），时间增量足够小时，可认为加速度的变化量为线性变化，即加速度的线性变化函数写为：

本增量区段内，速度变化为二次函数：

本增量区段内，位移变化为三次函数：

③由速度变化在本增量内的函数式（e），速度增量可表达为：

由位移变化在本增量内的函数式（f），位移增量可表达为：

可将速度增量和加速度增量都表示为位移增量的函数：

④将式（i）、式（j）代回增量平衡方程式（c），此时变量关系将形成位移增量与力增量之间的变换式，整理后将可得：

式中：(www.daowen.com)

根据式（6.29）可知，原增量平衡方程式（c）为二阶线性微分方程，当所取时间增量足够小，便可简化为线性方程。

⑤计算出位移增量，可以表达出速度和加速度增量。利用增量对初始位移、速度更新，便可取得本增量步的最终动力响应。

⑥初始加速度根据下式计算：

以上计算均利用线性加速度的假定进行推导，称为线性加速度法。其算法为有条件稳定，要求时间增量足够短。从精确度出发，工程经验要求振动周期应比积分步长至少大5~10倍，即满足：

工程分析常用的计算方法一般是使用线性加速度法的改进法，如wilson-θ法、Newmark-β法等。改进算法基本原理仍与线性加速度法相同，只是在利用位移增量构造速度和加速度增量时优化了表达式，使得直接积分算法从有条件稳定变为无条件稳定。此时时间步长只影响积分精度，而不至于产生计算结果发散现象。

【程序实现】

式（6.29）对应的程序算法实现如下：

（1）t0时刻：已存储的解答包括Y（t0），（t0），（t0）。

（2）t1时刻：计算Δ（t）；对线性问题，步长不变时，K~为常量，不用随时计算。

（3）求解：ΔY。

（4）更新：Y（t1），（t1），（t1）。