理论教育 矩阵凝聚在《杆系结构有限元》一书中揭示

矩阵凝聚在《杆系结构有限元》一书中揭示

时间:2023-08-23 理论教育 版权反馈
【摘要】:此时静力刚度矩阵仍为正定矩阵,而质量矩阵则有可能是半正定矩阵。为便于进行后续求解,可根据动力自由度进行矩阵凝聚。若取荷载向量为零向量,以上推导过程自然适用于自由振动时动力分析。筛选零质量主元对应的结点位移自由度;若所有杆元均存在分布质量,并按一致质量方式进行单元质量矩阵集成时,由于转动自由度对应质量主元亦非零,无须动力凝聚。根据零和非零,进行子块划分。矩阵变换,获取凝聚后的质量矩阵、刚度矩阵。

矩阵凝聚在《杆系结构有限元》一书中揭示

由于质量矩阵集成的特点,特别是考虑按集中质量模式集成,或因为质量分布被忽略出现无质量杆件时,质量直接相关的动力自由度,与描述变形特征的刚度矩阵“静力自由度”之间,自由度对应上存在差异:描述刚度特征的自由度数目,或将大于描述质量分布的自由度数目。此时静力刚度矩阵仍为正定矩阵,而质量矩阵则有可能是半正定矩阵(部分主元元素为0)。

为便于进行后续求解,可根据动力自由度进行矩阵凝聚。

按结构质量矩阵主元的非零和零,对动力方程进行矩阵子块划分(下标1对应非零,下标2对应零)。

式(a)按子块展开为:

由式(b)中第二式,表达出与质量无关的位移向量:

再将式(6.7)回代式(b)中第一式,得:

整理为:

即将原动力方程式(a),缩减变换为动力自由度下运动方程。进一步整理为:

从以上推导过程可知:

Y——为结构动力分析时的(总)位移向量;(www.daowen.com)

YD——(即Y1)为动力自由度对应的动位移向量;

MD——(即M11)为动力自由度对应的质量矩阵;

KD——动力自由度对应的刚度矩阵;

FPD——与动力自由度对应的荷载向量。

若取荷载向量为零向量,以上推导过程自然适用于自由振动时动力分析。

【程序实现】

(1)筛选零质量主元对应的结点位移自由度;若所有杆元均存在分布质量,并按一致质量方式进行单元质量矩阵集成时,由于转动自由度对应质量主元亦非零,无须动力凝聚。

(2)根据零和非零,进行子块划分。

(3)矩阵变换,获取凝聚后的质量矩阵、刚度矩阵。

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