1）截面刚度关系

截面的有效变形包含剪切变形和弯曲变形，如图4.13所示。

图4.13　截面的弯曲变形、剪切变形

截面变形向量表示为：

有效截面力向量自然也包含两个分量，即截面剪力和截面弯矩。表示为截面力向量有：

在截面层面上，剪、弯变形相互独立，容易建立此时的截面刚度矩阵为：

2）位移、变形函数分布

引入剪切变形影响后，对应切向位移的挠曲线中，有一部分是截面剪切效应的贡献，将梁位移曲线拆分为两部分（x）和（x），即：

式中　（x）——弯曲变形对位移曲线的贡献；

　　　（x）——剪切变形对位移曲线的贡献。

图4.14　结点自由度

本章单元分析是以截面分析为基础的，故本类单元仍直接推导考虑剪、弯效应下，截面的变形插值函数。根据截面变形插值函数的特点，在单元自由度下进行以下计算。（如图4.14所示，箭头指向为杆端自由度的约定正向）

（1）第1自由度

根据变形插值函数定义，在第1自由度发生单位位移时，截面变形分布包括独立的剪切变形和弯曲变形，推导如下（图4.15至图4.18中，内力图所标示符号为内力分布和对应变形分布在约定坐标下的正负）：

梁i端向下发生单位位移，杆端剪力FQi（剪力分布沿杆长为常数，以剪力值常数绝对值FQ为参量），杆端弯矩Mi。根据图4.15（b）所示内力图和对应的刚度特征，建立位移方程：

图4.15　第1自由度单位位移的变形与内力

可解出：

根据单元刚度矩阵元素定义，可知此剪力值的绝对值即为单元刚度矩阵元素k11，也可使用此方式计算出其余单元刚度矩阵元素。

由于剪力和剪切变形沿杆长均为常数，对应于第1自由度的截面剪切变形分布函数Bv1（x）可表达为：

根据剪力函数，截面弯矩（约定上部受拉为正）沿杆长分布函数为：

对应于第1自由度的截面变形分布函数Bϕ1（x）可表达为：

（2）第2自由度

对应于第2自由度，引入剪切变形。由于剪力FQ存在，杆端亦应由于剪切变形而产生vs的相对切向位移。故需要在此状态上表达出如图4.17的受力模式，保证单元对应于第2自由度发生单位转角位移，而i端切向位移仍需维持为0。

剪切变形对应的切向位移可表达为：(www.daowen.com)

以上切向位移和i端单位转角下，ij两截面弯矩值分别为：

由约束方程Mi-Mj=FQl，可解得：

图4.16　第2自由度单位位移的变形与内力

即可知截面剪切变形分布函数为：

截面弯矩分布函数为：

弯曲变形分布函数Bϕ2（x）可表达为：

（3）第3自由度

第3自由度下的推导过程与第1自由度类似，如图4.17所示。

图4.17　第3自由度单位位移的变形与内力

可得：

弯曲变形分布函数Bϕ3（x）可表达为：

（4）第4自由度

第4自由度下的推导过程与第2自由度类似，如图4.18所示。

图4.18　第4自由度单位位移的变形与内力

可得：

据式（a）—式（i），合并以上各系数，即可得考虑剪切变形时的变形插值函数矩阵为：

代入式（3.14），即有：

式（4.22）即为考虑剪、弯变形时平面杆元的单元刚度矩阵。

【说明】

将式（4.22）与未考虑剪切变形时单元刚度矩阵元素[式（4.18）]比较，参数α=12μEI/l2GA反映了杆件剪切变形的影响程度，主要因素包括截面的弯、剪刚度比和杆长。当杆长较长而截面弯剪刚度比值较小时，α较小，剪切变形的影响可忽略不计。