结构分析时常会应用到的积分过程，一般使用数值积分方法进行计算。

1）矩形积分法

若需要计算积分可将上式变换为：

图3.9　矩形积分法

数值计算模式即如图3.9所示。显然对于任意函数，矩形法积分式（3.17）的计算精度很难准确评价。通常需要将Δx取得很小，但这在一定程度上会增加计算量。

对矩形积分法也可按梯形或抛物线形进行改进，以提高积分精度。矩形积分法本书用于一般动荷载作用下的杜哈梅积分计算。

2）高斯积分法

单元分析时，变形分布和截面刚度分布等函数通常使用多项式函数来描述沿杆长的变化关系。当被积函数形式已知为多项式函数时，采用高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分法进行数值积分计算，在计算精度和计算量控制上，其效果比矩形积分更有保证。

如对式（3.14）执行矩阵乘法后，需要积分的元素为aij（x），积分式为：

(www.daowen.com)

根据变换x=lη/2+l/2，将式（a）积分域从[0，l]，转换至[-1，+1]，则有：

式中　ρi——积分权系数；

　　　ξij——积分域变换后积分点对应函数值；

　　　ηi——高斯积分点；

　　　n——积分点数目。

根据高斯积分原理，利用n个积分点可以构造出代数精度不低于2n-1的多项式函数的数值积分解。表3.1给出了5个积分点和对应权系数的常数值，构造了不低于九次多项式函数对应的代数精度，在杆系有限元分析中，一般的计算已经可以满足要求。

表3.1　高斯-勒让德积分常数

【程序实现】

高斯-勒让德数值积分程序段如下所示，可用于单元刚度矩阵元素、单元等效荷载等数值积分问题。