由图3.7及式（3.8）可知，位移插值函数即为结点位移（广义坐标）表达下的单元位移分布。

1）插值函数收敛性要求

有限元法的收敛性是指当划分的单元尺寸越来越小时，有限元法的解应该收敛于结构的精确解。基于位移法的有限元法求解过程，依赖于单元位移函数的选取。为了保证求解的收敛性，选取的单元位移函数应当满足下列两个条件。

（1）位移函数必须包含反映刚体位移的常数项和常应变的线性位移项。

单元的变形一般包括以下两个部分：

①因其他单元变形引起的单元整体的刚体变形。位移函数中显然必须包括常数项。

②自身变形引起的弹性变形。当单元的尺寸足够小时，单元内的应变比较均匀，近于常量。位移函数也必须要反映这一情况，才能保证收敛性得到满足。

（2）位移函数在单元内部必须连续，在相邻单元的公共结点上协调。

连续的结构体在受力后，其变形也是连续的（不能有断裂、重叠等现象），故描述单元内部响应的物理量也必须保持连续性。同时，还应尽量满足相邻单元间在边界处的协调。

2）位移插值函数计算

【例3.1】试推导两结点平面梁单元的位移插值函数。

【解】（1）如图3.8所示，梁单元不计轴向变形，杆端自由度为2，单元自由度为4。

根据收敛性的要求，位移插值函数必须包括常数项和线性项，选取三次多项式函数如下式：(www.daowen.com)

图3.8　平面梁单元位移插值函数

（2）式中包含4个待定系数（所选择的广义坐标，数目同单元自由度），可根据杆元始末端位移（即单元的边界条件）确定：

整理为：

（3）将待定系数代回位移函数，将位移表示为对应于广义坐标（即单元结点位移）的函数：

利用矩阵变换表达，即有：

（4）其中，变换矩阵即位移插值函数可写为：