进行坐标变换不会改变物理量的基本性质，只是描述物理量向量空间“基”的选择发生了改变。

1）平面直角坐标系统

向量在平面直角坐标系统下以两个分量进行表达，以力F为例，有：

此时若存在两个坐标系统（图1.2）：坐标系一（X-Y）和坐标系二（x′-y′），不同的坐标空间，向量表达式不同。在坐标系一（X-Y）下，向量表达同上式（a）；坐标系二（x′-y′）中，向量则应表达为式（b）：

图1.2　不同平面直角坐标系下的向量表达

规定两坐标系统之间的关系为：X轴到x′轴的夹角为α，以顺时针旋转为正，可得

将式（c）写为矩阵形式，有

即在不同平面直角坐标系之间，向量可使用坐标变换矩阵T0进行坐标变换：

很显然，T0是一个正交矩阵，此时存在的线性变换按矩阵形式表达为：

或

2）空间直角坐标系统

式（1.9）对向量的坐标变换，可以扩展到三维空间坐标系统下。此时坐标的旋转变换独立发生在3个轴上，而非平面体系中仅对一个轴上发生。如图1.3所示，若三维空间下存在两个独立的直角坐标系统：X-Y-Z和x-y-z。x轴对应于杆始末结点i-j方向，y、z轴为杆截面上指定工程轴方向，阴影面为xy轴所在平面。(www.daowen.com)

本书所使用的直角坐标系统均约定为右手坐标系统，在一些文献中也可能使用左手坐标系统，应注意二者在空间构造时存在的区别。

图1.3　空间直角坐标系统的旋转变换

空间直角坐标系统下，对应于坐标系X-Y-Z和x-y-z，向量的变换关系仍可写为：

正交变换矩阵T0可根据x-y-z中3个轴分别在坐标系X-Y-Z的方向余弦确定。若x轴对应于坐标系X-Y-Z的方向余弦为[l11　l12　l13]，y轴的方向余弦为[l21　l22　l23]，z轴的方向余弦为[l31　l32　l33]，则

各轴方向余弦计算模式如下：

①点i点j为杆件的两端结点，x轴的方向余弦为[l11　l12　l13]，其值根据方向ij→容易确定。若点i坐标为（Xi，Yi，Zi），点j坐标为（Xj，Yj，Zj），可直接计算ij→方向并单位化（L为ij→长度），有：

②在xy平面（图1.3中阴影区域示意）上构造任意一个不重合于x轴的向量yk，由不在x轴上的辅助点（Xk，Yk，Zk）和点i坐标（Xi，Yi，Zi）确定：

根据向量积的定义，可知[l11　l12　l13]⊗yk对应于z轴的方向。向量积写为：

对z向量单位化，则z轴相对于XYZ轴的方向余弦为：

③显然，根据右手坐标系统的原则，z轴上向量叉乘x轴上向量，结果应为y轴方向上向量，故有：

对向量单位化，则y轴相对于XYZ轴的方向余弦为：