1.正交试验设计的基本理论

在实际工作中，常常需要同时考察 3 个或3 个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验规模将很大，往往因试验条件限制而难以实施。正交试验设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。

正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。它是由日本统计学家田口玄一等人提出。该方法是在概率论、数理统计和实践经验的基础上提出来，根据标准化正交表安排试验方案（采用部分试验代替全面试验，选择具有代表性的试验来进行试验），并对试验结果进行计算分析，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优的水平组合。其特点是能够以尽量少的试验次数、尽量短的试验时间以及比较低的试验费用得到比较满意的试验结果。因此，正交试验设计方法是一种高效的处理多因素优化设计问题的科学计算方法。

正交试验方案设计主要是依据一整套规则的正交表来进行，正交表通常表示为 Ln ( r m)，其中L 是正交表代号；n 为正交表横行数（需要做试验的次数）；r 是因素水平数；m 是正交表的纵列数（最多可以安排的因素个数）。

例如一个三因素三水平的正交试验设计，可以安排 9 次试验完成整个试验过程，可采用的正交表如表7-1 所示，记为L9(33 )。

表7-1　正交试验设计表L9(33 )

正交表主要有两种类型，一种为等水平正交表。等水平正交表是指各列水平数相同的正交表。如L4(2 3)、L8(2 7)、L12(21 1)等各列中的水平为2，称为2 水平正交表；L9(34 )、L27(31 3)等各列水平为3，称为3 水平正交表。另一种为混合水平正交表。混合水平正交表是指各列水平数不完全相同的正交表。如L8 (4 ×2 4)表中有一列的水平数为4，有4 列水平数为2。也就是说该表可以安排一个 4 水平因素和 4 个 2 水平因素。再如L16(4 4×2 3)，L16(4 ×21 2)等都是混合水平正交表。

正交表具有以下基本性质：

（1）正交性。

① 任一列中，各水平都出现，且出现的次数相等。

例：L8(2 7)中不同数字只有1 和2，它们各出现4 次；L9(34 )中不同数字有1、2 和3，它们各出现3 次。

② 任两列之间各种不同水平的所有可能组合都出现，且出现的次数相等。

例：L8(2 7)中（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）各出现两次；L9(3 4)中（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）各出现1 次。即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平所有可能组合次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。

（2）代表性。(www.daowen.com)

代表性的含义之一，在于正交表的正交性。

① 任一列的各水平都出现，使得部分试验中包括了所有因素的所有水平；

② 任两列的所有水平组合都出现，使任意两因素间的试验组合为全面试验。

由于正交表的正交性，正交试验的试验点必然均衡地分布在全面试验点中，具有很强的代表性。因此，部分试验寻找的最优条件与全面试验所寻找的最优条件，应有一致的趋势。

（3）综合可比性。

① 任一列的各水平出现的次数相等；

② 任两列间所有水平组合出现次数相等，使得任一因素各水平的试验条件相同。这就保证了在每列因素各水平的效果中，最大限度地排除了其他因素的干扰。从而可以综合比较该因素不同水平对试验指标的影响情况。

根据以上特性，用正交表安排的试验，具有均衡分散和整齐可比的特点，如图7-1 所示。可以将具有代表性的9 个试验点均匀地分布在一个立方体的 6 个平面上，并且使每个平面都包含有 3 个试验点，使这 3 个试验点都处于每个面的关键点位置上，从图上可以看出。这 9 个试验点可以均匀地分布在27 个关键线相交而形成的27 个关键点位置上，所以能够达到面面俱到、线线俱到，而且达到均匀分散的目的。因此，这样可以利用正交表来安排这9 个试验，充分体现全部 27 个试验点的特征和规律。而且，根据优化设计理论，对这些少量的试验结果进行统计、分析，便可以得到总体的试验规律，从而能够发现各个因素对试验指标的影响程度及影响趋势。

图7-1　试验点分布

2.正交试验设计的基本程序

对于多因素试验，正交试验设计是简单常用的一种试验设计方法，其设计基本程序如图7-2 所示。正交试验设计的基本程序包括试验方案设计及试验结果分析两部分。

图7-2　试验方案设计流程图