多层及高层框架结构在水平力的作用下会产生侧移，侧移过大将导致填充墙开裂，外墙饰面脱落，影响到建筑物的使用。因此，需要对结构的侧移加以控制。控制侧移包括两部分的内容：一是控制顶层最大侧移，二是控制层间相对位移。

（一）框架侧移变形的分析

如图8.2.26所示为一根等截面悬臂柱，在水平均布荷载作用下，柱截面内有弯矩和剪力，因而柱的侧移包括由柱截面弯矩引起的侧移u_M和柱截面剪力引起的侧移u_V，在相同的向右的荷载作用下，两种侧移曲线的凹向不同。u_M为右凹，称弯曲型变形；而u_V为右凸，称剪切型变形。

框架结构在水平荷载作用下可视作一空腹悬臂柱，如图8.2.27所示。将某层框架柱沿反弯点处切开，中柱的轴力较小可忽略不计，因此可近似认为两侧边柱内轴力大小相等，但一拉一压；此外，各柱内还有剪力。则该空腹悬臂柱（视为整体）的截面弯矩由柱轴力产生（M=NB），而截面剪力由柱剪力产生，其值就等于框架的层间剪力（V=V₁+V₂+V₃）。仿照上述等截面悬臂柱的侧移曲线特点可知：框架结构的整体弯曲型变形由柱轴力引起；整体剪切型变形是由框架柱在弯矩及剪力作用下柱截面发生弯曲变形引起的。

图8.2.26 水平荷载作用下等截面悬臂柱的侧移曲线

a）弯曲型变形 b）剪切型变形

图8.2.27 水平荷载作用下空腹悬臂柱的截面内力

多层框架结构中，框架梁或框架柱的跨度或高度与其截面尺寸相比均比较大（4倍以上），因而属于杆系结构，其变形特点是，杆件的变形以弯曲变形为主，而剪切变形及轴向变形所占比例很小，可忽略不计。因此，框架梁、柱作为单个构件时，其变形均以构件的弯曲变形为主。

综上所述，框架结构的整体侧移曲线由弯曲型变形和剪切型变形两部分组成。弯曲型变形由框架柱的轴向变形引起；剪切型变形主要由框架梁、柱的弯曲变形引起。

当框架结构层数不多时，在其总侧移中，柱轴向变形引起的整体弯曲型变形所占比例很小可以不计算，只需计算由框架梁、柱弯曲变形引起的整体剪切型变形；而当框架结构层数较多、高度较大时，柱轴力加大，此时柱轴向变形引起的侧移不能忽略，也需要计算。一般来说，二者叠加而成的框架结构总侧移曲线总是以剪切型变形为主的。

如图8.2.28所示，框架的弯曲型变形特点是：层间侧移上大下小；剪切型变形特点是：层间侧移上小下大。

图8.2.28 水平荷载作用下框架的侧移曲线

a）框架的剪切型变形 b）框架的弯曲型变形

（二）框架梁、柱弯曲变形引起的侧移——整体剪切型变形

由框架梁、柱弯曲变形引起的框架侧移可用D值法计算。

对第i层柱，其层间相对侧移为

式中 V_i——第i层柱的层间剪力；

V_ij——第i层第j根柱的剪力。

式中 D_i——第i层的层间抗侧移刚度；

D_ij——第i层第j根柱的侧移刚度，s为第i层柱子总数。

第i层柱顶面处的绝对位移为

框架结构顶层柱顶面处的总绝对位移为

（三）框架柱轴向变形引起的侧移——整体弯曲型变形

如前所述，在水平荷载作用下，框架的两侧边柱轴力较大且一拉一压，而中柱轴力较小。由于框架柱的轴向变形引起的框架侧移属于整体弯曲型变形。

框架柱轴向变形引起的侧移如图8.2.28b所示。杆件轴向变形引起的位移计算公式为

式中 ∑——对所有柱子求和；

N₁——顶点作用单位水平力时在各柱内产生的轴力；

N——水平外荷载作用下的柱轴力；

A——柱的截面面积；

E——柱弹性模量。

框架在水平荷载作用下，一侧的柱产生轴向拉力，另一侧的柱产生轴向压力，外侧柱的轴力大，内侧柱的轴力小。为了简化，忽略内柱的轴力，并近似取外侧柱轴力为

式中 M——上部水平荷载对任一高度处产生的弯矩；

B——外侧柱之间的距离。

将节点水平荷载化为分布荷载q（z），在高度z处，有

将上式代入位移计算公式可得到顶点侧移，与q（z）的形式有关。假定柱截面沿高度不变，则对于框架顶点受集中水平荷载、框架受均匀分布水平荷载和倒三角形分布荷载作用，框架柱轴向变形引起的顶点侧移分别为

式中 V₀——水平外荷载在框架底面产生的总剪力。

从上式可以看出，房屋高度越高（H越大）、宽度越窄（B越小），由柱轴向变形引起的顶点侧移u_N越大。计算表明，对于高度H≤50m或高宽比H/B≤4的钢筋混凝土框架，柱轴向变形引起的顶点位移约占框架梁柱弯曲变形所引起的顶点侧移的5%～11%。因此，当高度和高宽比大于上述数值时，应考虑轴向变形的影响。

（四）框架结构层间弹性位移验算

在正常使用条件下，限制结构层间位移的主要目的有以下两点：

1）保证主体结构基本处于弹性受力状态，对钢筋混凝土结构来讲，首先要避免混凝土墙或柱出现裂缝；同时，将混凝土梁等楼面构件的裂缝数量、宽度和高度限制在《规范》允许范围之内。

2）保证填充墙、隔墙和幕墙等非结构构件的完好，避免产生明显损伤。

在风荷载或多遇地震（小震）作用下，要使结构处于弹性阶段，因而计算层间位移Δu时采用弹性方法，结构构件的刚度采用弹性刚度；由于位移验算属于正常使用极限状态，其重要性比保证安全性的承载能力极限状态有所下降，因而计算位移时采用荷载标准值（不考虑荷载分项系数）。

为了保证框架结构具有足够的刚度，避免产生过大的位移而影响结构的承载力、稳定性和使用要求，按弹性方法计算的楼层层间最大位移与层高之比Δu/h，《规范》有具体规定。《高层建筑混凝土结构技术规程》的规定为：

4.6.1 在正常使用条件下，高层建筑结构应具有足够的刚度，避免产生过大的位移而影响结构的承载力、稳定性和使用要求。

4.6.2 正常使用条件下的结构水平位移按本规程第3章规定的风荷载、地震作用和第5章规定的弹性方法计算。

4.6.3 按弹性方法计算的楼层层间最大位移与层高之比Δu/h宜符合以下规定：

1 高度不大于150m的高层建筑，其楼层层间最大位移与层高之比Δu/h不宜大于表4.6.3的限值；

表4.6.3 楼层层间最大位移与层高之比的限值

2 高度等于或大于250m的高层建筑，其楼层层间最大位移与层高之比Δu/h不宜大于1/500；

3 高度在150～250m之间的高层建筑，其楼层层间最大位移与层高之比Δu/h的限值按本条第1款和第2款的限值线性插入取用。

注：楼层层间最大位移Δu以楼层最大的水平位移差计算，不扣除整体弯曲变形。抗震设计时，本条规定的楼层位移计算不考虑偶然偏心的影响。

《建筑抗震设计规范》的规定：

5.5.1 表5.5.1所列各类结构应进行多遇地震作用下的抗震变形验算，其楼层内最大的弹性层间位移应符合下式要求：

Δu_e≤[θ_e]h （5.5.1）

式中 Δu_e——多遇地震作用标准值产生的楼层内最大的弹性层间位移，计算时，除以弯曲变形为主的高层建筑外，可不扣除结构整体弯曲变形；应计入扭转变形，各作用分项系数均应采用1.0；钢筋混凝土结构构件的截面刚度可采用弹性刚度；

[θ_e]——弹性层间位移角限值，宜按表5.5.1采用；

h——计算楼层层高。

表5.5.1 弹性层间位移角限值

（五）算例

【8.2.13】 用D值法作框架的弯矩图（四层）

条件：某四层框架结构如图8.2.29所示，梁柱现浇，楼板预制，柱截面尺寸为400mm×400mm，顶层梁截面尺寸为240mm×600mm，楼层梁截面尺寸为240mm×650mm，走道梁截面尺寸均为240mm×400mm，混凝土强度等级C20。

要求：试用D值法求框架结构在图示水平荷载作用下的内力。

图 8.2.29

【解答】

（1）梁柱线刚度计算。

（2）求各柱的剪力值。

（续）

（3）求各柱反弯点高度yh。根据总层数m，该柱所在层n，梁柱线刚度比K，查表8.2.2得到标准反弯点高度系数y₀；根据上下横梁线刚度比值α₁查表8.2.4得修正值y₁；根据上下层高度变化查表8.2.5得修正值y₂、y₃；各层反弯点高度yh=（y₀+y₁+y₂+y₃）h。

（续）

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（4）由下面公式求出柱上、下两端弯矩。上柱：M_上=V（1-y）h；下柱M_下=Vyh。再由节点平衡条件和梁的线刚度比求出各梁端弯矩，即可绘出框架弯矩图如图8.2.30所示。

【8.2.14】 框架侧移计算

要求：试计算【8.2.13】框架各层层间侧移Δ_i及顶点侧移Δ。

【解答】 已知混凝土强度等级为C20，弹性模量E=25.5×10³N/mm²

该框架总高H=16.5m＜50m，宽B=15.7m

H/B=16.5/15.7=1.051＜4可以不考虑柱轴向变形引起的侧移Δ_N，只需计算由梁、柱弯曲变形引起的侧移Δ_V，具体计算如下：

据式（8.2.14）：

（1）计算各层间侧移刚度∑D_i：此处应是侧移刚度的绝对值。

据【8.2.13】i=8.45×10⁵E=8.45×10⁵×25.5×10³=215.48×10⁵（N·mm）

各层的层间侧移刚度绝对值为

顶层：

三层：

二层：

一层：

图8.2.30 框架弯矩图（单位：kN·m）

（2）计算各层层间侧移Δ_i。

各层剪力V₄=8kN；层间侧移：

（3）计算顶部侧移

（六）考题

真题 【8.2.15】～【8.2.17】 （2005年二级考题）

某10层框架结构，其中一榀框架剖面的轴线几何尺寸如图8.2.31所示。梁、柱的线刚度i_b、ic（单位为10¹⁰N·mm），均注于图中构件旁侧；各楼层处的水平力F为某一组荷载作用的标准值。在计算内力与位移时需采用D值法。

图 8.2.31

提示：，

式中 α——与梁柱刚度比有关的修正系数。

对底层柱：；

对一般层柱：

式中 K——有关梁柱的线刚度比。

真题 【8.2.15】 （2005年二级考题）

已知第6层每个边柱侧移刚度修正系数α_边=0.34，试问，第6层每个中柱分配的剪力标准值（kN），最接近于下列何项数值？

（A）4 （B）13 （C）18 （D）25

【答案】 （C）

【解答】 求出中柱的侧移刚度修正系数，已知边柱侧移刚度修正系数，继而求出中、边柱的侧移刚度，按各柱侧移刚度所占的比例分配剪力

真题 【8.2.16】 （2005年二级考题）

已知底层每个中柱侧移刚度修正系数α_中=0.7，试问，底层每个边柱分配的剪力标准值（kN），应与下列何项数值最为接近？

（A）2 （B）17 （C）20 （D）25

【答案】 （B）

【解答】 已知中柱的侧移刚度修正系数，求出边柱侧移刚度修正系数，继而求出中、边柱的侧移刚度，按各柱侧移刚度所占的比例分配剪力

真题 【8.2.17】 （2005年二级考题）

假定底层每个边柱和中柱的侧移刚度修正系数分别为α_边=0.58和α_中=0.7，试问，当不考虑柱子的轴向变形影响时，底层柱顶侧移（即底层层间相对侧移）值（mm）与下列何项数值最为接近？

（A）3.4 （B）5.4 （C）8.4 （D）10.4

【答案】 （A）

【解答】 已知中柱、边柱的侧移刚度修正系数，求出中、边柱的侧移刚度，即可求得底层层间侧移刚度，则底层剪力除以层间刚度即为底层位移。

真题 【8.2.18】～【8.2.19】 （2005年一级考题）

某6层钢筋混凝土框架结构，其计算简图如图8.2.32所示。边跨梁、中间跨梁、边柱及中柱各自的线刚度，依次分别i_b1、i_b2、i_c1和i_c2（单位为10¹⁰N·mm），且在各层之间不变。

图 8.2.32

真题 【8.2.18】 （2005年一级考题）

采用D值法计算在图示水平荷载作用下的框架内力。假定2层中柱的侧移刚度（抗推刚度），且已求出用于确定2层边柱侧移刚度D_2边的刚度修正系数α_2边=0.39，试问，第2层每个边柱分配的剪力V_边（kN），与下列何项数值最为接近？

（A）0.7P （B）1.4P （C）1.9P （D）2.8P

【答案】 （A）

【解答】 已知2层中柱的侧移刚度及边柱侧移刚度修正系数，继而求出边柱的侧移刚度，按各柱侧移刚度所占的比例分配剪力

真题 【8.2.19】 （2005年一级考题）

用D值法计算在水平荷载作用下的框架侧移。假定在图8.2.32所示水平荷载作用下，顶层的层间相对侧移值Δ₆=0.0127P（mm），又已求得底层侧移刚度∑D_i=102.84kN/mm，试问，在图示水平荷载作用下，顶层（屋顶）的绝对侧移值δ₆（mm），与下列何项数值最为接近？

（A）0.06P （B）0.12P （C）0.20P （D）0.25P

【答案】 （D）

【解答】 已知顶层相对侧移，按荷载的比例可得2～5层的相对侧移，加上根据底层侧移总刚度已知，求出底层的侧移，各层相对侧移之和即为顶层绝对侧移。

2～5层：Δ_i=Δ₆（6-n+1），

真题 【8.2.20】～【8.2.21】 （2011年一级考题）

某12层现浇框架结构，其中一榀中部框架的剖面如图8.2.33所示，现浇混凝土楼板，梁两侧无洞。底层各柱截面相同，2～12层各柱截面相同，各层梁截面均相同。梁、柱矩形截面线刚度i_b0、i_c0（单位：10¹⁰N·mm）注于构件旁侧。假定，梁考虑两侧楼板影响的刚度增大系数取《高层建筑混凝土结构技术规程》中相应条文中最大值。

提示：1.计算内力和位移时，采用D值法。

2.。式中α是与梁柱刚度比有关的修正系数，

对底层柱：，对一般楼层柱：。式中，为有关梁柱的线刚度比。

图 8.2.33

真题 【8.2.20】 （2011年一级考题）

假定，各楼层所受水平作用如图8.2.33所示。试问，底层每个中柱分配的剪力值（kN），应与下列何项数值最为接近？

（A）3P （B）3.5P （C）4P （D）4.5P

【答案】 （B）

【解答】 根据《高层建筑混凝土结构技术规程》5.5.2条及条文说明：

真题 【8.2.21】 （2011年一级考题）

假定，P=10kN，底层柱顶侧移值为2.8mm，且上部楼层各边梁、柱及中梁、柱的修正系数分别为α_边=0.56，α_中=0.76。试问，不考虑柱子的轴向变形影响时，该榀框架的顶层柱顶侧位移值（mm），与下列何项数值最为接近？

（A）9 （B）11 （C）13 （D）15

【答案】 （B）

【解答】 2～12层，层间侧移刚度相同，作用本层以上荷载，得到各层相对位移，叠加首层及2～12层：