工程上一般采用正投影图表达物体的形状，如图1-67（a）所示。它可以完整、准确地表达出物体各部分的形状，且作图简单方便，但图样直观性差，需要多个视图或尺寸配合表达。工程上还采用轴测投影图作为辅助图样。轴测图能同时表达出空间物体长、宽、高三个方向的形状，如图1-67（b）、（c）所示。轴测图的优点是直观性强，能一目了然地表达出物体的形状。在设计新产品时，一般要绘制轴测草图。轴测图的不足是：度量性差；物体形状在所画图形中产生变形，不能确切地表达物体的实际形状和大小；作图比较麻烦。所以，轴测图在生产中一般用来作为正投影图的辅助图样。

图1-67　轴测图的形成

（a）正投影图；（b）正轴测投影图；（c）斜轴测投影图

（一）轴测图的基本知识

1.轴测图的形成

将物体连同其参考直角坐标系，沿不平行于任一坐标面的方向，用平行投影法将其投射在单一投影面上所得的图形，称为轴测投影图（简称轴测图），如图1-67（b）、（c）中投影面P上所示，其所设单面投影面称为轴测投影面。空间坐标轴OX、OY、OZ的投影O1X1、O1Y1、O1Z1称为轴测轴。

物体（或直角坐标系）、投影面和投射线（或投射方向）是投影的三要素，它们之间的相对位置是变化的。因此，用平行投影法将物体向一个投影面进行投影时，可得到三种不同的投影图。

正投影图：当物体的两个坐标轴平行于投影面P，且投射方向与投影面P垂直时，得到的物体投影图，称为正投影图，如图1-67（a）所示。

正轴测投影图：当物体的直角坐标轴OX、OY、OZ都倾斜于投影面P，而投射方向仍与投影面P垂直时，得到能反映物体三个方向形状的投影图，称为正轴测投影图，简称正轴测图，如图 1-67（b）所示。

斜轴测投影图：当投射方向与投影面P倾斜，而物体的直角坐标与投影面P的关系，可能是一个轴与投影面平行、两个轴与投影面平行或三个轴与投影面倾斜，所得到能反映物体三个方向形状的投影图，称为斜轴测投影图，简称斜轴测图，如图1-67（c）所示。

2.轴测图的投影特性

由于轴测图是采用平行投影法得到的，所以，在物体和它的轴测投影图之间存在如下关系：

（1）物体上相互平行的线段，在轴测图上仍相互平行。

（2）物体上平行于坐标轴的线段，在轴测图上仍平行于相应的轴测轴。

（3）物体上两平行线段长度之比，在轴测图上保持不变。

（4）物体上平行于轴测投影面的直线或平面，在轴测图上反映其实长或实形。

3.轴测图的轴间角和轴向伸缩系数

（1）轴测轴之间的夹角∠X1O1Y1、∠X1O1Z1、∠Y1O1Z1称为轴间角，如图 1-67（b）、（c）所示。

（2）轴测轴上的单位长度与相应空间坐标轴上的单位长度的比值，称为轴向伸缩系数，分别用 p1、q1和 r1表示，简化伸缩系数分别用 p、q和r表示。由图1-67（b）可知，OX、OY、OZ三个坐标轴上的轴向伸缩系数分别为

不同种类的轴测图，有各自不同的轴间角和轴向伸缩系数。当两者为已知时，就可以根据物体或物体的多面正投影图绘制出该物体的轴测图。根据已知的轴间角，可以确定三个轴测轴的方向；再根据已知的轴向伸缩系数，可以在轴测图上量取与坐标轴平行线段的尺寸。“轴测”的含义，就是“沿轴测量”。

根据国家标准 GB／T4458.3—2013《机械制图　轴测图》和GB／T14692—2008《技术制图　投影法》的规定，常用的轴测图有正等测、正二测和斜二测三种，并可将轴测轴O1X1、O1Y1、O1Z1简化为OX、OY、OZ。所以后续轴测图中轴测轴和点的标记均省略下标。

（二）正等轴测图

1.正轴测图的分类

用正投影法画正轴测图时，由于三个坐标轴与轴测投影面的倾斜角度不同，得到的轴间角和轴向伸缩系数也不同。常用的正轴测图为：

（1）正等轴测图。三个直角坐标轴与轴测投影面的倾角都相等，因而三个轴向伸缩系数也相等，即p＝q＝r，这种正轴测图称为正等轴测图，简称为正等测。正等轴测图作图比较方便，立体感也较强，得到了广泛的应用。

（2）正二等轴测图。两个直角坐标轴与轴测投影面的倾角相等，相应地有两个轴向伸缩系数相等，即p＝q≠r或p≠q＝r或p＝r≠q，这种轴测图称为正二等轴测图，简称为正二测。国家标准规定，正二等轴测图采用p＝r≠q。正二等轴测图立体感较强，但作图不简便。

2.正等轴测图的轴间角和轴向伸缩系数

根据直角坐标轴和轴测投影面的几何关系可以证明，正等轴测图的三个轴间角都是120°，如图1-68（a）所示。若以物体前下角为坐标原点，则∠XOZ＝∠YOZ＝60°，如图 1-68（b）所示。

由计算得到，三个轴向伸缩系数为p1＝q1＝r1＝0.82。画正等轴测图时，在物体上沿OX、OY、OZ三个方向的长度都应乘以轴向伸缩系数0.82，画图比较麻烦。为了便于作图，用q和r表示简化轴向伸缩系数，把0.82简化为1，即令p＝q＝r＝1。这样，在画正等测时，凡物体上平行于坐标轴的线段，在轴测图上都按其实长来作图，使作图简便。这样画出的正等轴测图，沿三个轴向的尺寸，较投影尺寸都放大了1／0.82＝1.22（倍）。图1-69（a）是物体的三面正投影图，图 1-69（b）是按图 1-69（a）的尺寸乘以 0.82（即 p1＝q1＝r1＝0.82）画出的，图 1-69（c）是按图 1-69（a）的尺寸（即 p＝q＝r＝1）直接画出的。

图1-68　正等轴测图的轴间角

图1-69　轴向伸缩系数及其简化

3.平面立体的正等轴测图画法

绘制平面立体正等轴测图的基本方法就是根据正等轴测的投影特性、轴间角和轴向伸缩系数，首先在物体上选定坐标系，然后“沿轴测量”定出平面立体顶点的轴测投影位置，最后连线画出物体形状。

例1-7　作正六棱柱的正等轴测图。

图1-70（a）所示为正六棱柱的两面投影图，根据此图作出正六棱柱的正等轴测图，其作图步骤如下：

（1）分析形体，确定直角坐标系。如图1-70（a）所示，坐标原点定在顶面六边形的中心，X、Y、Z轴如图所示。

（2）画出轴测轴，确定轴测轴 X、Y上与空间对应的各点 1、4、A、B，如图 1-70（b）所示。

（3）过A、B作OX的平行线，并在其上定出点2、3、5、6，连接成顶面正六边形的轴测投影，如图 1-70（c）和（d）所示。

（4）过 6、1、2、3向下作 OZ的平行线，根据高度 h定出点 7、8、9、10。依次连接各点，清理图面和加粗图线后，就画出了正六棱柱的正等轴测图，如图1-70（e）和（f）所示。轴测图中不可见图线一般不画出。

例1-8　作如图1-71（a）所示形体的正等轴测图。

如图1-71（a）所示形体由一个底板、一个四棱柱和两个三角肋板叠加而成。作图步骤如下：

（1）分析形体，确定坐标系，如图1-71（a）所示。

图1-70　正六棱柱的正等轴测图

图1-71　叠加式形体的正等测画法

（2）画轴测轴和底板，如图1-71（b）所示。

（3）在底板上定出四棱柱的位置并画四棱柱，如图1-71（c）所示。

（4）在底板上定出三角肋板的位置，画三角肋板，如图1-71（d）所示。

（5）清理图面，加粗图线，就画出了该形体的正等轴测图，如图1-71（e）所示。

图1-72　平行于坐标面的圆的正等轴测图

4.曲面立体正等轴测图画法

（1）平行于坐标面的圆的正等轴测图画法：

①投影特点。从正等轴测图的形成可知，三个坐标面与轴测投影面的倾角都是相等的。因此，平行于三个坐标面的直径相等的圆，都投影成形状相同、大小相等的椭圆。椭圆长、短轴的长度与方向的规律如图1-72所示。

a.水平面上椭圆的长轴垂直于Z轴，短轴平行于Z轴；侧平面上椭圆的长轴垂直于X轴，短轴平行于X轴；正平面上椭圆的长轴垂直于Y轴，短轴平行于Y轴。图中各菱形为圆的外切正方形的正等测，长轴方向为菱形的长对角线方向，短轴方向为菱形的短对角线方向。

b.当p＝g＝r＝1时，可以计算出各椭圆的长轴AB≈1.22d，各椭圆的短轴CD≈0.7d。

②近似画法。正等轴测图中的椭圆，一般可用四段圆弧代替，而四段圆弧的圆心是根据椭圆的外切菱形求得的。所以，这种近似画法称为菱形法。下面以平行于XOY坐标面的圆为例，说明椭圆正等轴测图的近似画法，如图1-73所示。

图1-73　正等轴测图中椭圆的近似画法(www.daowen.com)

a.在正投影图上，定出该圆的直角坐标系，并作出圆的外切正方形EFGH，如图1-73（b）所示。

b.画出轴测轴，以圆的直径为边长，作出菱形EFGH，如图1-73（c）和（d）所示。

c.利用菱形确定四段圆弧的圆心位置。图1-73（e）所示的菱形顶点E、G分别为圆弧CD和AB的圆心；菱形顶点E（或G）和其对边中点C、D（或A、B）的连线，与菱形长对角线HF的交点1、2分别为圆弧AD和BC的圆心。

d.以E、G为圆心，EC（或GA）为半径，画出两个大圆弧AB和CD；以1、2为圆心，1D和2C为半径，画出小圆弧AD和BC，如图1-73（f）所示。

平行于XOZ和YOZ的两个坐标面的圆，其正等测的画法与上述相同。但要注意正确确定菱形的方位，即椭圆长、短轴的方向，如图1-72所示。

（2）圆柱体画法：

图1-74所示为轴线平行于Z轴的圆柱体的作图步骤。

①在投影图上选定直角坐标系，如图1-74（a）所示。

②作上、下底圆的正等轴测图，如图1-74（b）所示。先作上底圆正等测——完整椭圆，然后采用“移心法”作下底圆正等测的可见部分——下半椭圆。移心法的具体做法是：根据圆柱体的高h，在轴线上确定下底圆的椭圆中心O2，过1、2作Z轴的平行线，与过O2的水平线交于3、4。同理将G下移h得I，则3、4、I为移心法所得到的三个圆心，再以1D、2C和GA为半径，分别作出三个圆弧，就作出了下底圆的正等轴测图。

图1-74　圆柱体的正等测作图步骤

③作上下两个椭圆的公切线，得到圆柱体的两条转向素线，如图 1-74（c）所示。

④清理图面，加粗图线，就得到了圆柱体的正等轴测图，如图 1-74（d）所示。

图1-75所示为轴线平行于坐标轴的三个圆柱体正等轴测图。从图中可以看出，在绘制轴线平行于X轴和Y轴的圆柱体时，只要正确做出圆外切正方形的正等测和椭圆的长、短轴方向，其余作图步骤与前述相同。

图1-75　轴线平行于坐标轴的圆柱体的正等测

图1-76所示为轴线平行于X轴的圆柱体被切割后的正等轴测图。作图时，首先画出完整圆柱体，如图1-76（b）所示；然后再按图1-73（a）所给尺寸画出被切割部分，如图1-76（c）所示。根据图1-76（a）所给b值，作Y轴的两条平行线，与端部椭圆交于四个点1、2、3、4；根据图1-76（a）所给 a值，用移心法作切割后形成的椭圆，并过 1、2、3、4作 X轴平行线（只作可见交线），与切割形成的椭圆相交。清理图面和加粗图线后，就得到了圆柱体被切割后的正等轴测图。

图1-76　圆柱体被切割后的正等测画法

（三）斜二等轴测图

用斜投影法画轴测图时，同样可得到多种斜轴测图。根据国家标准GB／T14692—2008《技术制图　投影法》规定，采用斜二等轴测图。

1.斜二等轴测图的形成、轴间角和轴向伸缩系数

（1）斜二等轴测图的形成：如图1-77所示，把物体摆正，使物体上所设坐标系的XOZ坐标面平行于轴测投影面。当投射方向与投影面垂直时，可得到正投影图；当投射方向与投影面倾斜，使轴测轴OX与OY的夹角为135°，并取OY轴上的轴向伸缩系数q＝0.5时，所得到的斜轴测图称为斜二等轴测图，简称斜二测。

（2）斜二等轴测图的轴间角和轴向伸缩系数：国家标准规定，斜二测的轴向伸缩系数p＝r＝1，q＝0.5；轴间角是：OX与 OZ成 90°，OX与 OY成 135°（OY与 OX右端的夹角为 45°），如图1-78所示。

斜二测的主要特点是：物体上平行于XOZ坐标面的各表面，在斜二测上反映实形。这一特点，使得平行于XOZ坐标面的圆的斜二测投影仍是圆，画法变得非常简便。因此，当物体在同一方向上相互平行的平面内有较多的圆或圆弧时，应将该物体画成斜二测为好。而平行于XOY和YOZ坐标面的圆，投影成椭圆，如图1-79所示。这两个椭圆的长、短轴，既不与轴测轴平行或垂直，又不与外切平行四边形的对角线重合。水平面上的椭圆1的长轴与X轴的夹角约成7°，侧平面上的椭圆2的长轴与Z轴的夹角约成7°。椭圆1、2的长轴AB≈1.06d，短轴CD≈0.33d。这两个椭圆作图较烦琐，水平面上椭圆的作图步骤如图1-80所示。

斜二测在Y轴方向上变形较大，使图形产生了较大的失真。

图1-77　斜轴测图的形成

图1-78　斜二测的轴间角与轴向伸缩系数

2.斜二等轴测图的画法

斜二等轴测图的画图方法步骤与正等轴测图基本相同。根据斜二测的投影特点，应将物体上有圆或圆弧所在的平面平行于XOZ面，然后按斜二测进行投影，画出该物体的斜二等轴测图。

图1-81所示为端盖的斜二测画法。此端盖表面上所有的圆都分布在如图1-81（a）所示的A、B、C三层平行平面上。画图时，应使这些圆都平行于XOZ面。为了作图方便，将XOZ面定在与B层平面重合的位置上，坐标原点在B层平面的图形中心。画出B层平面上的实形后，采用移心法，向前、后画出其余两层平面上的实形。在三层平面上，都只画可见部分，然后再画出所有圆的公切线，即完成了端盖的斜二等轴测图。

图1-79　立方体上三个方向圆的斜二测

图1-80　斜二测上椭圆的画法

（a）AB＝d，CD＝0.5d；（b）作 7°线；（c）O1＝O3＝d，A3＝B1＝R；（d）A2＝B4＝r

（四）轴测剖视图

为了用轴测图表达物体内部形状，假想用剖切平面将物体的一部分剖去，露出内部结构，画出其轴测剖视图。

图1-81　端盖的斜二测画法

图1-82　正等测的剖面线画法

1.画轴测剖视图的有关规定

（1）剖切平面的选取：为了在轴测剖视图上同时表达物体的内外形状，通常采用互相垂直的两个剖切平面剖开物体。这些剖切平面应与坐标面平行，并通过物体的主要轴线或对称平面。

（2）剖面线的画法：在物体的剖切断面上要画上剖面线。平行于三个坐标面的剖切断面上，剖面线的画法如图1-82和图1-83所示。

（3）轴测局部剖视图画法：采用局部剖切时，所用剖切平面也应平行于坐标面，其断裂面边界用波浪线表示，并在断裂面上打上许多小黑点，如图1-84所示。

图1-83　斜二测的剖面线画法

图1-84　轴测局部剖视图画法

（4）薄壁和肋板剖切后的规定画法：当剖切平面通过薄壁和肋板的对称平面时，这些结构的剖切断面上不画剖面线，而用粗实线将它们与相邻部分分开，如图1-85所示。

2.形体的轴测剖视图画法

画形体轴测剖视图，一般有以下两种方法：

（1）先画外部形状，然后在外形图上进行剖切，画出剖切断面和内部形状。这种方法容易被初学者掌握，但作图比较麻烦，如图1-85所示。

图1-85　先画外形，然后剖切

（a）题给条件；（b）画外形，作剖切；（c）完成投影

（2）先画剖切断面，然后根据剖切断面画出内、外形状，如图1-86所示。这种方法作图比较方便，较熟练地掌握了轴测图画法以后，一般多采用这种方法。

图1-86　先画剖切断面，然后画出整体

（a）题给条件；（b）画出断面图；（c）完成投影