（一）体的三面投影——三视图

国家标准GB／T4458.1—2002《机械制图　图样画法　视图》规定，用正投影法绘制的物体的图形又称为视图，并且规定，可见的轮廓线用粗实线表示，不可见的轮廓线用虚线表示。

在图1-28中，将物体放在三个互相垂直的投影面中，使物体上的主要平面平行于投影面，然后分别向三个投影面作正投影，得到的三个图形称为三视图。

图1-27　形体中面的分析

图1-28　分面进行投影

三个视图的名称分别为：

主视图，即向正前方投影，在正面（V）上所得到的视图；

俯视图，即由上向下投影，在水平面（H）上所得到的视图；

左视图，即由左向右投影，在侧面（W）上所得到的视图。

在三个投影面上得到物体的三视图后，须将空间互相垂直的三个投影展开摊平在一个平面上。展开投影面时规定：正面保持不动，将水平面和侧面按图1-29（a）中箭头所示的方向旋转90°得到图1-29（b）。为使图形清晰，去掉投影轴和投影面线框，就成为常用的三视图，如图 1-29（c）所示。

下面介绍三视图之间的对应关系：

图1-29　投影面的展开与三视图的形成

1.视图间的对应关系

从三视图中可以看出，主视图反映了物体的长度和高度；俯视图反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的高度和宽度。由此可以得出如下投影规律：主视图、俯视图中相应投影的长度相等，并且对正；主视图、左视图中相应投影的高度相等，并且平齐；俯视图、左视图中相应投影的宽度相等。

归纳起来，可得三视图的投影规律：主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等。简称“长对正、高平齐、宽相等”。

不仅整个形体的三视图符合上述对应关系，而且形体上每一组成部分的三个投影也符合上述对应关系，在画图、读图及标注尺寸时都要注意遵循和应用它。

图1-30　三视图的方位关系

2.物体与视图的方位关系

物体各结构之间，都具有六个方向的互相位置关系，如图1-30所示。它与三视图的方位关系为：主视图反映出物体的上、下、左、右位置关系；俯视图反映出物体的前、后、左、右位置关系；左视图反映出物体的前、后、上、下位置关系。

特别值得注意的是，俯视图与左视图中远离主视图的一方为物体的前方，靠近主视图的一方为物体的后方。

总之，以主视图为准，在俯视图和左视图中存在“近后远前”的方位关系。

（二）平面立体的投影

空间立体是由各种表面围成的实体，可分为两类：表面都是平面的平面立体和表面是曲面或曲面与平面的曲面立体。平面立体上相邻表面的交线称为棱线。平面立体主要有棱柱、棱锥等。绘制平面立体的三视图，可归结为绘制各个表面的投影。由于平面立体各表面均由直线段围成，因此，平面立体的三视图又可归结为绘出其各棱线及各顶点的投影，然后判断其可见性。看得见的棱线投影画成粗实线，看不见的棱线投影画成虚线。

1.棱柱

棱柱有直棱柱（侧棱与底面垂直）和斜棱柱（侧棱与底面倾斜）之分。棱柱的顶面和底面是两个形状相同而且互相平行的多边形，各侧面都是矩形或平行四边形。顶面和底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱。

（1）棱柱的投影：图1-31（a）所示为正六棱柱的直观图。该棱柱的顶面和底面为正六边形，放置成平行H面，并使其前后两个侧面平行V面。

图1-31（b）所示为它的三视图，俯视图的正六边形是六棱柱顶面和底面的重合投影，反映该正六棱柱顶面和底面的实形。顶面的投影可见，底面的投影不可见。六边形的边和顶点分别是六个侧面和六条侧棱在H面上的具有积聚性的投影。

图1-31　正六棱柱的三视图

（a）正六棱柱的直观图；（b）三视图

主视图的三个矩形线框是六棱柱六个侧面的投影。中间矩形线框为前、后侧面的重合投影，反映实形；左、右两线框为其余四个侧面的重合投影，是类似形。六个侧面中前方三个的正面投影可见。主视图上、下两条图线是顶面和底面的具有积聚性的投影，另外四条图线是六条侧棱的投影。

左视图中的两个矩形线框是左、右共四个侧面的重合投影，是类似形，左边两个侧面可见，右边两个侧面不可见。左视图外框左、右两条线为前、后侧面的具有积聚性的投影。中间一条线为侧棱的投影。视图中上、下两条图线是顶面和底面的具有积聚性的投影。

直棱柱的投影特征：当棱柱的底面平行某一个投影面时，棱柱在该面上的投影为与其底面全等的多边形，而另外两个投影为由数个（由实线或虚线围成的）相邻的矩形线框所组成的图形。

画各种棱柱的三视图时，应先画出三个视图的对称中心线作为投影图的基准线，再画反映底面实形的视图，然后按视图间的投影关系完成其他两面视图。画完底稿后，应检查各投影图是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律。最后擦去不必要的作图线，加深需要的各种图线，使其符合标准。

图1-31（b）中的三视图，省略了投影轴，在实际工作中也是不画投影轴的。应该注意，虽然不画投影轴，但任一点的正面投影和水平投影、正面投影和侧面投影仍应分别在相应的投影连线上；而且在几何形体的水平投影和侧面投影之间，也应保持相同的前后对应关系。这种水平投影和侧面投影之间的前后对应关系，一般可直接量取相等的距离作图，也可用添加45°辅助线的方法作图。

（2）棱柱表面上点的投影：立体表面上的点，其投影一定位于立体表面的同面投影上。

由于直棱柱的表面都处在特殊位置，所以棱柱表面上点的投影均可利用平面投影的积聚性来作图。

点的可见性取决于点所在面的可见性。若该面处于可见位置，则该面上点的同面投影也为可见，反之为不可见。凡其投影为不可见的点，规定在该投影标记上加小括号“（）”表示，以区别于可见点的投影。在平面具有积聚性的投影上的点的投影，可以不必判别其可见性。

如图1-31（b）所示，已知六棱柱ABCD侧面上M点的V面投影m′，求该点的H面投影m和W面投影m″。由于m′为可见点的投影，故点M必在左前侧面ABCD上。因侧面ABCD为铅垂面，故M点的H面投影m必在该侧面的H面具有积聚性的投影adcd上，求出m后即可根据m′和m求出W面投影m″。由于ABCD的W面投影可见，故m″也可见。

2.棱锥

棱锥的底面为多边形，各侧面为若干个具有公共顶点的三角形。从棱锥顶点到底面的距离叫作棱锥的高。当棱锥底面为正多边形，各侧面是全等的等腰三角形时，称为正棱锥。

（1）棱锥的投影：图1-32（a）所示为一正三棱锥的三面投影直观图，它由底面等边三角形ABC和三个全等的等腰三角形SAB、SAC、SBC所组成。设将其放置成底面ABC平行于H面，并有一个侧面SAC垂直于W面的位置。

图1-32（b）所示为该三棱锥的三视图，由于底面ABC为水平面，所以它的H面投影abc反映底面的实形，V面投影a′b′c′和W面投影a″（c″）b″分别积聚成平行于OX轴和OYW轴的直线段：三棱锥的后侧面SAC为侧垂面，它的W面投影s″a″（c″）积聚为一段斜线，它的V面投影s′a′c′和H面投影sac为类似形，前者为不可见，后者为可见。左、右两个侧面为一般位置平面，它们在三个投影面上的投影均为类似形。底边AB、BC为水平线，AC为侧垂线；棱线SB为侧平线，SA、SC为一般位置直线。它们的投影特性可自行分析。

图1-32　正三棱锥的三视图

（a）正三棱锥直观图；（b）三视图

正棱锥的投影特征：当棱锥的底面平行于某一个投影面时，棱锥在该面上投影的外轮廓为与其底面全等的正多边形；而另外两个投影为由数个（由实线或虚线组成的）相邻的三角形线框所组成的图形。

画棱锥三视图时，一般先画底面的各个投影，然后定锥顶S的各个投影，同时将它与底面各顶点的同面投影连接起来，并判断其可见性，即完成其三视图。

（2）棱锥表面上点的投影：组成棱锥的表面有特殊位置平面，也有一般位置平面。凡属于特殊位置表面上的点，可利用投影的积聚性直接求得；而属于一般位置表面上的点，可通过在该面上作辅助线的方法求得，称为辅助线法。其依据是：在平面上的点，必位于平面且通过该点的直线上。

如图1-32（b）所示，已知位于侧面SAB上M点的V面投影m′和位于侧面SAC上N点的H面投影n，求作M、N两点的其余投影。

由于N点所在的侧面SAC是侧垂面，可利用该平面的W面投影具有积聚性直接求出n″，再由n和n″按投影关系求得n′。由于N点所属侧面SAC的V面投影不可见，所以n′不可见。

M点所在侧面SAB为一般位置平面，可按图1-32（a）所示，过锥顶S和M引一辅助直线SI，作出SI的有关投影，M点的投影必在SⅠ的同面投影上。其作法是：过m′和s′引直线s′1′，由s′1′作出H面投影s1，再由m′引投影连线交于s1上一点m，最后由m′和m求得m″。辅助线必须通过M点，且位于SAB上，却不一定非通过锥顶，图中所示过M点引平行于AB的直线MⅡ即是。用它同样可求得M点的H面投影m和W面投影m″。

由于M点所属侧面SAB在H面和W面上的投影都是可见的，所以m和m″都是可见的。

3.棱锥台

棱锥台可看成由平行于棱锥底面的平面截去锥顶一部分而形成的。由正棱锥截得的棱锥台叫正棱台。

图1-33所示为一四棱台的三视图，其轴线垂直于水平面。

图1-33　四棱台的三视图

绘制棱锥台的三视图及求棱锥台表面上点的投影的方法与棱锥相同。

（三）曲面立体的投影

由曲面或曲面与平面围成的形体称为曲面立体。在机件中常见的曲面立体是回转体。回转体是指由回转面（由一条母线围绕轴线回转一周而形成的表面）或回转面与平面所围成的形体，如圆柱、圆锥、圆球、圆环等。

1.圆柱(www.daowen.com)

圆柱由顶面、底面和圆柱面所围成。圆柱面可看成是由一条直线AA1绕与它平行的固定轴OO1回转而形成的曲面。直线OO1称为回转轴，直线AA1称为母线，在回转过程中任意位置的母线AA1称为素线，如图1-34所示。

（1）圆柱的投影：图1-35（b）所示为当轴线垂直于水平面时，圆柱的三视图。

俯视图是一圆线框，反映圆柱顶面和底面的实形，顶面可见；而圆周又是圆柱面具有积聚性的投影，在圆柱面上任何点的投影都重合在这一圆的圆周上。

主视图为一矩形线框。矩形的上、下边是圆柱顶面和底面的具有积聚性的投影。左、右两条边和是从前向后看圆柱面上最左与最右两条素线AA1和CC1的投影。这两条素线称为轮廓素线，它们既是圆柱前半部与后半部的分界线，也是圆柱可见部分与不可见部分的分界线。它们的水平投影积聚成点，侧面投影与圆柱的轴线（点画线）重合。因圆柱表面是光滑的曲面，所以在画图时不应画出轮廓素线在其他投影面上的投影。

图1-34　圆柱面的形成

图1-35　圆柱的三视图

左视图的矩形线框，其上、下两边亦分别是圆柱顶面和底面的具有积聚性的投影。矩形左、右两边和为该圆柱面上最前和最后两条轮廓素线BB1和DD1的投影，它既是圆柱左半部与右半部的分界线，也是可见部分与不可见部分的分界线。它们的水平投影积聚成点，正面投影与圆柱的轴线（点画线）重合。

圆柱的投影特征：当圆柱的轴线垂直于某一投影面时，在该投影面上的投影为一圆；另外两个投影为全等的两个矩形。

画圆柱的三视图时，应先画出轴线和圆的中心线，然后画出投影为圆的那个视图，最后画其余两个视图。

（2）圆柱面上点的投影：画圆柱表面上点的投影，可利用圆柱表面具有积聚性的投影来作图。

如图1-36所示，已知圆柱面上M点、N点的V面投影，求作M、N两点的H面、W面投影。

由于M点的V面投影m′可见，所以M点必在前半圆柱面上，其水平投影m必定落在具有积聚性的前半个圆柱面的水平投影图上，再由m′和m可求出m″，由于M点处于圆柱面的左半部，所以m″是可见的。N点的投影可自行分析。

2.圆锥

圆锥表面由圆锥面和底面圆所围成。圆锥面可看作是由一直线SA绕与它相交的固定轴SO回转而形成的曲面，如图1-37所示。SA为母线，在回转过程中的母线SA的任意位置称为素线。

图1-36　圆柱面上点的投影

图1-37　圆锥面的形成

（1）圆锥的投影：图1-38（b）所示为当轴线垂直于水平投影面时，圆锥的三视图。

图1-38　圆锥的三视图

俯视图是一圆线框，表示圆锥面的投影，同时也反映圆锥底面的实形。

主、左视图为等腰三角形线框，其底边都是圆锥底面的具有积聚性的投影，主视图中三角形的左、右两边s′a′、s′c′分别表示圆锥面最左、最右两条素线 SA、SC的投影，它们是圆锥面在主视图上可见与不可见部分的分界线。左视图中三角形的两边s″b″、s″d″分别表示圆锥面最前、最后两条素线SB、SD的投影，它们是圆锥面在左视图上可见与不可见部分的分界线。

圆锥的投影特征：当圆锥轴线垂直于某一投影面时，在该投影面上的投影为一个与底面相等的圆形，另外两个投影面上的投影为全等的等腰三角形。

画圆锥的三视图时，应先画出圆的中心线和轴线，然后画出底面圆形的三面投影，再定出锥顶的三面投影，最后分别画出其外形轮廓素线的投影，即可得圆锥的投影图。

（2）圆锥面上点的投影：如图1-39和图1-40所示，M为圆锥表面上一点，已知其V面投影m′，求作其余两投影m″和m。

因为圆锥面的三面投影都没有积聚性，所以不能利用积聚性直接在圆锥面上求点，其作图方法有以下两种。

①辅助素线法：如图1-39所示，过锥顶S和锥面上M点引一素线SA，作出其H面投影sa，即可求出M点的H面投影m，然后再根据m′和m求得m″。

由于锥面的H面投影都是可见的，所以m可见。又因为M点在左半锥面上，所以m″也是可见的。

图1-39　用辅助素线法在圆锥面上取点

②辅助圆法：如图1-40所示，过点M在圆锥面上作垂直于圆锥轴线（平行于底面）的辅助圆，该圆的V面投影和W面投影均积聚为一直线，水平投影为一圆。M点的各个投影必在此辅助圆的相应投影上。

作图时，按图1-40（b）所示，在主视图上过m′点作水平线交圆锥轮廓素线于a′b′，即为辅助圆的V面投影。在俯视图中作出辅助圆的H面投影（以s为圆心，a′b′／2为半径画圆），然后过m′点引投影连线交于该圆得m点。最后由m′和m求得m″，并判断可见性，即为所求。

3.圆锥台

圆锥台可看成是由平行于圆锥底面的平面截去一部分锥顶而形成的。

图1-41所示为一圆锥台的三视图，其轴线垂直于侧面。

绘制圆锥台的三视图及求圆锥台表面上点投影的方法与圆锥相同。

4.圆球

圆球是由球面围成的。球面是由一个圆作素线，以其直径为轴线旋转而成，如图1-42（a）所示。

图1-40　用辅助圆法在圆锥面上取点

图1-41　圆锥台的三视图

图1-42　圆球的三视图

（1）圆球的投影：圆球从任何方向投影得到的都是与圆球直径相等的圆，因此其三面投影都是等直径的圆。但各个投影面上的圆，不能认为它们是球面上同一个圆的三个投影，而是三个不同方向球的轮廓素线圆的投影。

主视图中的圆a′是平行V面的最大圆A的投影，也就是前半球与后半球可见和不可见的分界圆。它在俯、左两视图中的投影都与球的中心线重合，不应画出。

俯视图中的圆b是平行H面的最大纬圆（赤道圆）B的投影，也就是上半球与下半球可见和不可见的分界圆。

左视图中的圆c″是平行于W面的最大圆C的投影，也就是左半球与右半球可见和不可见的分界圆。

圆球的投影特征：三面投影都是与球的直径相等的圆。

作图时，可先用中心线的交点确定球心的三面投影，再画出三个与球直径相等的外轮廓圆。

（2）圆球表面上点的投影：球面的三面投影都没有积聚性，且在球面上也画不出直线，但可以在球面上过已知点用作平行于投影面辅助圆的方法求作该点的投影。

如图1-43所示，已知球面上M点的V面投影m′，求作其H面投影m和W面投影m″。

图1-43　球面上点的投影

可以过M点在球面上作平行于H面（也可作平行于V面、W面）的辅助圆，即可在辅助圆的各个投影上求得M点的相应投影。

如图1-43（a）所示，根据m′的位置和可见性，可知M点在前半球面的右半部。在球面的主视图上过m′作水平辅助圆的V面投影1′2′，再在俯视图中作辅助圆的H面投影（即以O为圆心，1′2′为直径画圆），然后由m′作x轴垂线，在辅助圆的H面投影上求得m，最后根据m′和m可求得m″。其中m可见、m″不可见。

同样，也可按图1-43（b）所示，过M点在球面上作平行于侧面的辅助圆，先求出m″的投影，再根据m′和m″求得m。

5.圆环

圆环是由圆环面围成的，圆环面可以看作是以一圆为素线，绕着与圆在同一平面内但不相交的轴线旋转而成，如图1-44（a）所示。

图1-44（b）所示为圆环轴线为铅垂线时的三视图。俯视图是两个同心轮廓圆和一个同心点画线圆，它们是圆素线上离轴线最远点、最近点、中心点在旋转时的轨迹。主视图是两段水平直线与圆相切而成的图形。圆弧部分表示圆素线旋转至平行V面时的投影，粗实线是可见部分，虚线是不可见部分，上、下两段水平直线是圆素线最高点与最低点旋转成圆环的投影。左视图可自行分析。

图1-44　圆环的三视图