1.数学与思维的关联

数学是关于“现实世界的空间形式和数量关系”的科学。现实世界中的一切事物都具有质和量这两种规定性。只有质而没有量或只有量而没有质的事物是没有的。同样，现实世界中的一切事物都是以空间的形式存在着的，空间是事物存在的基本形式，没有空间的事物也是没有的。数学的这种学科规定性使其在科技发展中具有重要的作用和价值，从而使其成为学习其他学科的一种工具。

数学学科的工具性突出表现在数学对思维发展的促进作用上。数学是思维的工具，数学是思维的体操，数学是进行思维训练的载体，这些通俗的话语无疑表明数学本质上能促进学生思维的发展，这种促进作用突出表现在思维的深刻性、灵活性、独创性、敏捷性和批判性上。

思维的深刻性是指对实际事物及复杂关系进行抽象概括并发现问题的本质过程，是思考的广度、深度、难度和严谨性水平的集中反应。“刨根问底”“打破砂锅问到底”是深刻性的写照，“去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里”是深刻性的体现。数学对小学生思维深刻性的促进作用主要体现在三个方面：第一，寻找“标准答案”的水平逐渐提高，推理的间接性不断增强；第二，不断掌握运算法则，对事物数量变化的规律性认识不断加深；第三，不断提出“假设”，在自编应用题解题过程中抽象逻辑性在不断增强。

思维的灵活性主要指能够根据客观事物的发展与变化，及时调整自己的思路，改变已有的思维过程，寻求新的解决问题的方法。数学对思维灵活性的促进作用主要表现在学生在数学思维活动中，思考的方向多、过程活以及思维技巧能够适时转换，即思维的应变能力强，集中在三个方面：第一，能随具体条件而确定解题方向，并能随条件的变化而有的放矢地转化解题方法；第二，能够从新的高度、新的角度看待已知知识；第三，能够从已知的数学关系中看出新的数学关系。思维的灵活性来自求异思维，而求异思维来自知识的迁移。因为灵活性越大，思维的发散性越好，越能获得多解，说明迁移的效果越显著。“举一反三”“触类旁通”是灵活性的体现。

思维的独创性是人类思维的高级形态，它是在新颖的问题情境中，在一定目标的指引下，调动一切已知信息，独特、新颖而且有价值地解决问题的过程中表现出来的思维品质。数学对独创性的促进作用体现在学生解决问题的过程中不断产生的“灵感”，能够以顿悟式的方法解决问题。

思维的敏捷性指思维过程中，思维正确前提下的迅速和简捷。数学对思维敏捷性的促进作用主要表现在能够缩短运算环节和推理过程所用的时间，这依赖于结果正确前提下的速度训练，经过练习，从中总结经验，进而概括出规律，通过应用达到熟练的程度。因而，敏捷与概括性相连。(www.daowen.com)

思维的批判性是指思维活动中善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过程的思维品质。“知其然，知其所以然”就是思维批判性的表现。数学对思维批判性的促进作用在于数学能够促进学生元认知的发展，元认知是对认知的认知，是一种对自己思维主动反思与监控的过程。数学学习好的学生一定是善于反思的学生。

2.思维与语言的关联

苏联心理学家维果茨基在其著作《言语与思维》中，利用心理学实验全面考察了语言和思维间的关系。在论及思维和语言的关系时，维果茨基“利用两个相交的圆来比喻”，两圆相交表明思维和语言过程的某些部分是重合的，这就是所谓的语言思维范畴^[13]。在进一步论述语言对思维的反应时，维果茨基使用了内部语言和外部语言两个概念，其中，内部语言指的是一种自问自答，不出声的心理思维语言；外部语言指的是外在的口头语言和书面语言。两种语言紧密联系，一方面，内部语言要通过外部语言来体现；另一方面，没有内部语言的参与，人们就不能更好地进行外部语言的表达。这里的内部语言已经无限接近于人的思维，是思维与外部语言连接的桥梁。由此可见，语言与思维紧密相连，语言是思维的外壳，通过对语言的分析，可以洞察人的思维，人的思维也可以通过语言的训练得到发展。

3.数学与思维、语言的关联

综上，数学是思维的体操，语言是思维的外壳，数学、思维与语言是紧密结合在一起的。这种结合表现在三个方面：首先，数学本身就是一种语言。数学是一切定量科学的语言，它为定量科学的研究和应用提供了进行思考和交流的高效率的精密工具;数学也是金融、商业与贸易的世界通用语言，现代经济活动必须借助数学语言才能顺利进行。数学语言与其他任何一种语言一样，只有通过不断地表达才能逐渐掌握。其次，数学学习与数学研究都需要通过数学语言进行交流。正如我国著名数学教育家丁尔陞先生所指出的“数学能力还包括交流数学的才能。除了知道如何解决问题以外，学生还必须会阅读并理解数学课本，并且会口头和书面地把数学研究和问题解决的结果向别人表达出来。所以，数学课程必须提供适当的情境，让学生能够学习读数学、写数学、说数学。”最后，通过教学表达，可以加深学生对所学数学知识的理解与促进思维的发展。理解是表达的前提条件，只有实现比较透彻的理解，才能比较清楚地表达。要求学生进行适当的数学表达，是促使学生开动脑筋思考问题的一种有效手段，从而促进思维发展;同时，通过数学表达，可以检查学生对所学数学知识掌握的程度，便于教师有针对性地改进教学。数学与语言及思维这种关联性使其训练不仅具有着力点，更指向学科发展的本质，从而为训练提供了学科可能。