1.数学语言理解能力

理解是学习的开始，是思维发展的关键。对数学学习而言，学生只有领会数学已知信息表达的意义，寻求到未知信息，才能调动认知结构中的相关信息，构建已知与未知之间的桥梁，从而进行有意义的学习。因此，数学语言理解能力就是把新的数学语言的语义纳入学习者已有的认知结构中，实现认知的同化与顺应，从而获得新的意义的过程。这里的数学语言的语义主要包括数学的概念、命题、表达式和对应的指称关系。

从语言的理解角度来看，语言理解包含三个层次：一是字词的识别，主要是对知觉进行加工，以听觉和视觉形式对呈现的语言刺激进行初步编码；二是句子理解，在语言识别基础上，对语句的句法和语义进行分析；三是课文的理解，统观词句和篇章逻辑结构，对课文进行连贯的主题分析。就数学语言理解而言，字词相当于数学的概念、术语和符号，是构成数学知识体系的基本单位；句子相当于数学的命题、表达式以及数量关系，是构成数学知识的基本判断；课文相当于复杂的数学情境，是综合运用数学语言进行问题解决的基本场景。因此，数学语言理解能力包括数学概念理解能力、数学语句理解能力和数学情境理解能力三大能力。结合小学数学特点，这三种能力的主要内容与具体表现又具有一定的特殊性（见表2-3）。

表2-3　数学语言理解能力的主要内容与具体表现

续表

（1）数学概念理解能力

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反应形式，即一种数学的思维形式。在数学中，对一般思维形式的判断和推理，通常以定理、法则、公式的方式表现出来，而数学概念则是他们的基础。因此，对数学概念的理解与掌握则成为学习数学的首要任务。数学概念理解能力就是正确理解数学概念内涵（即对象“质”的特征）和外延（即对象“量”的范围）的一种能力。在实践中，通常体现在三个方面。一是理解数学概念的本质意义，即准确的认知文字、符号或图形的意义，如三角形的概念：“三条线段围成的图形叫作三角形”。这里的“围成”字面理解即为“首尾相连”，表现为图形的状态即为“⊿”，此为对概念“质”的特征的理解。二是能够对概念的变式做出识别。比如乘法分配率其基本概念公式为“（a+b）×c=a×c+b×c”，而对于“（80-8）×125”的变式题目，仍然能够运用乘法分配率来解决，此为对概念“量”的范围的理解。三是理解概念与概念的联系与区别。比如平行四边形概念：“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，按照概念“质”的特征，长方形两组对边分别平行，因此，长方形是平行四边形。同时，长方形还具有邻边互相垂直的特性，由此，长方形是特殊的平行四边形。只有认识到平行四边形与长方形等图形的区别与联系，才能在“质”和“量”两个方面深刻把握平行四边形的特征。

可见，数学概念理解能力是学生数学语言理解能力的基础，只有理解了数学概念，才能利用概念进行推理，进而解决问题。

（2）数学语句理解能力

数学语句是由一系列概念组成的数学判断、数学推理和数学问题。数学语句是构成数学知识和数学学习的常见形式，作为知识形式，数学语句常以文字、符号或图像来描述信息、定义概念、公理和定理，形成数学推理的基本依据；作为数学学习的形式，数学语句常用来构造数学问题，学生通过解决数学问题来训练思维。因此，理解数学语句对数学学习具有重要意义。

数学语句理解能力即是通过对数学系列概念、命题或推理的深入分析，把握概念本质、掌握概念间的关系、明晰命题和推理间的逻辑关系并做出正确信息判断的一种能力。如描述被除数不变规律：“被除数不变，除数扩大几倍，商反而缩小到原数的几分之一。”理解此数学语句需要把握两点：一是在被除数不变的情况下，除数和商的变化方向相反；二是在被除数不变的情况下，除数和商变化倍数相同。把握住不同概念（除数、商和被除数）间的关系，则代表已深入理解数学语句的含义。再如数学问题“4×6=（）×3=（）”，这是以符号形式呈现的数学语句，如果仅从数学概念角度理解，可能会算成“4×6=（24）×3=（72）”，从而得到一种貌似正确的错误答案。正确理解这种数学语句，需要从整体上把握数学符号间的逻辑关系。显然这道题中两个“=”确定了位于其两边的数量的恒等关系，而不是一种递进关系，由此正确的理解应为“4×6=（8）×3=（24）”。

可见，数学语句的不同理解代表着学生的不同思维，正确的数学语句理解是发展学生思维的重要保障。

（3）数学情境理解能力

数学情境不仅是学生掌握知识、形成能力、发展心理品质的重要源泉，而且是沟通现实生活与数学学习、具体问题与抽象问题之间的桥梁，数学情境还可以引发学生更多的联想，诱导学生积极地思考，从而自主、快乐地学习数学。鉴于数学情境对于学生学习数学的重要意义，所以在现实数学课堂学习和数学评价中，情境成为一种常用的形式。一般而言，情境包括两种形式：

一是生活情境，强调生活与数学的联系，凸显数学服务生活的教育目的。这类数学情境的理解重点是从生活情境中找到数学信息，并抽象出数学问题，实际是一种数学信息的发现与提取能力。比如在学习“平均数”时，为了凸显“平均数”的意义，老师创设了这样的数学情境：“美丽的大森林里，住着红狐狸和灰狐狸两家。有一天，两家狐狸要进行摘松果比赛，红狐狸家的老大摘9个，老二摘6个，老三摘3个；灰狐狸一家老大摘7个，老二摘6个，老三摘4个，老四摘3个。如果你是裁判，你会判谁家是胜利者呢？”理解这样的生活化问题情境，需要去除无关信息，找到关键信息即“两家狐狸各摘了几个松果”，同时找到蕴含信息“红狐狸家有3人，灰狐狸家有4人”，进而思考问题“在人数不同的情况下怎样比才较公平”，这样才算把握了数学情境的真实含义。

二是数学情境，强调数学学科的独立性，从数学出发创设习题，以训练学生的思维。理解此类情境同样需要把握关键信息，同时需要对数学信息进行一定的整理，找出信息间的联系。比如图2-5　中的数学情境，包括文字信息和图片信息，理解这样的数学情境，不仅需要理解文字信息，更要掌握文字与图片信息间的逻辑关系，并进行提炼整理。实际上，如果学生能够整理为“师徒两人共做147个零件，师傅每时做18个，徒弟每时做12个。师傅做27个后，师徒合作还要多少时才能完成任务？”这样的数学信息则代表已经深入理解情境中的信息。

可见，数学情境理解需要整体上把握概念间的关系，不同形式语句之间的逻辑，这是一种相对高级的数学语言理解能力。

图2-5　复杂情境问题解决样例题

2.数学语言转译能力

理解是数学外部信息进入人主观认知的一个同化和顺应过程，为数学学习提供了一种可能，而学习的真正发生则需要信息的转译。可以说，数学学习的心理过程就是不同思维间的一种转译过程，而不同语言表征形式的转译正是思维转译的外在表现。因此，转译对数学学习和数学语言的掌握具有重要意义，这可以从三个方面来理解。

首先，从数学学习的目的来说，解决问题是数学学习的主要目的之一。问题是数学的心脏，学习数学自然需要解决问题，而问题通常以图文、表格等多种语言形式呈现，对问题的理解需要简化这些信息，进行语言整理和加工，这涉及文字与图表语言的互译。最终问题的解决则依赖于严格的、形式化的符号推理，这又涉及文字、图表与符号语言的互译。因此，问题解决的过程就是一个不同数学语言的转化过程。

其次，从数学学习的过程来说，数学语言具有高度的抽象性和逻辑性，要使这种语言被学生更好地掌握，教师必须善于将抽象的数学语言转化成直观、形象、易于理解的语言形式，这涉及数学语言与生活语言的互译。

最后，从数学学习的内容而言，数学学习的主要内容是三种数学语言形式及其关系，而文字语言、符号语言和图表语言有各自不同的优缺点。一般而言，同一个数学思想使用文字语言表达则生动，用数学符号语言表达则简练，用图像语言表达则直观，但有些问题可能用文字语言表示过于烦冗，用数学符号语言表示又抽象，而用图形表达有时又未必全面，因此就需要根据目的选取合适的语言表征形式，即需要从一种语言转译到另一种语言。基于此，某种程度上可以说数学学习就是数学语言转译的过程。(www.daowen.com)

显然，数学语言转译能力是学生能够在文字、符号与图表三种数学语言形式之间以及生活语言与数学语言之间进行转译的能力。从语言学角度来讲，数学语言的这种转译是在语义相同基础上语形的转化。由于数学语言包括三种语形，因此包含三种内在转译能力：文字与符号转译能力、文字与图表转译能力、符号与图表转译能力；同时，服务于数学语言教学，存在外部生活语言与内在数学语言的转化，因此，又涉及生活语言与数学语言转译能力。四种转译能力的主要内容与具体表现见表2-4。

表2-4　数学语言转译能力的主要内容与具体表现

（1）文字与符号转译能力

文字与符号转译能力是数学语言中的文字语言与符号语言之间进行互译的能力。文字语言最为接近生活语言，因此其对于小学生而言更容易理解，是小学数学知识的主要表征形式，许多抽象的符号语言均需转化为文字语言，这体现了数学语言的应用性。比如，对于梯形面积公式“S=（a+b）×h÷2”，作为符号语言的数学表达式，如果不能转化为：“梯形的面积等于上底加下底的和乘以高再除以2”的文字语言，小学生则不能理解其表达的正确意思，从而实现不了数学信息的交流。但数学学习不能仅停留在文字表面，需要触及数学的本质，而符号正是数学的象征之一，因此，需要将文字转化为符号，实现数学知识的“符号化”。如减法的性质文字描述为：一个数连续减去两个数等于这个数减去这两个数的和。文字描述显得烦琐，如果同时用“a-b-c=a-（b+c）”的符号语言表示，则言简意赅，清晰直观。因此，文字与符号的转译能力是学生需要掌握的基本转译能力，对其掌握的程度代表着学生理解数学知识的深度。

（2）文字与图表转译能力

文字与图表转译能力是数学语言的文字形式与图表形式进行互译的能力。图表是数学语言另一种重要的表征形式，其可以使信息简化，数量间的关系更为直观，有助于学生的问题解决。因此，文字转译成图表成为学生学习数学的一种基本策略。比如小学数学中常见的和倍问题：“甲乙两个数的和是100，乙数是甲数的3倍，求乙数是多少？”对于这样的抽象问题，学生往往不容易找到甲乙两数的关系，但如果转化成线段图（如图2-6），则能够很清晰地看出100对应的是4份量，解决问题的思维难度明显降低。

图2-6　文字转译成图表的线段图

同样图表也经常需要被转译成文字，由此了解图表表达的含义，进行科学的预测，这种情形常见于统计图表中。比如图2-7　，就是一种图表语言到文字语言的转译。解读其意义，可以为人们的出行提供参考。

图2-7　XX年昆明和重庆月平均气温统计图

（3）符号与图表转译能力

符号与图表转译能力是数学语言中符号语言与图表语言两种形式之间互相转译的能力。符号的抽象性和图表的直观性是互补的，因此，符号通常与图表语言相伴而生。这种图表与符号语言相伴而生的现象在中学数学教学中尤为常见。而小学阶段，图表与符号互译通常出现在几何图形领域，表现为两个方面：一是几何图形中的识图（见图2-8），用图表形式呈现数学信息，求其体积“V=6×4×3=72（cm3）”的过程就是将图表语言转译成符号语言的过程；二是几何图形中的画图，如“请以O为顶点，A、B、C、D为端点，画出∠AOB=90°，∠BOC=∠COD”，将这些字母符号转化为图形（见图2-9）则可形成直观的认识。可见，图表与符号的互译也是学生需要掌握的一种高级能力，这种能力在几何图形领域尤为重要。

图2-8　求长方体图形的体

图2-9　符号语言转译成图表语言

（4）生活语言与数学语言转译能力

生活语言是一种自然语言，是人们日常生活中所使用的语言。生活语言可能包括数学语言的成分，其目的是增强表达的形象性与生动性。如“他的人生轨迹如同一条抛物线，从高峰跌到低谷，又从低谷再次走向高峰”。这里的“抛物线”是数学语言，但用它是为了增强人生起伏的形象性。在数学学习中，为增强交流的有效性，需要将数学语言转译成生活语言，使用生活语言及修辞手法增强交流的效果。比如理解乘法分配率“（a+b）×c=a×c+b×c”，学生往往只记得把第一个数a分配给第三个数c，而忘了将第二个数b也分配给第三个数c，此时如果将乘法分配率转译成生活语言：“如果第一个数a代表小明，第二个数b代表小红，第三个数c代表老师布置的作业，公平对待，小明要做作业，小红也要做作业。所以第一个数a要乘以c，第二个数b也要乘以c。”这种形象的比喻可以增强知识的生动性，便于学生记忆和理解。反之，也要从形象的生活语言中抓住关键信息，提炼概括成数学语言。比如，描述小明回家的路线，小明先向东走500米，到达邮局，再向北走1000米到达公园，再向东走600米到达小区门口，如果根据信息，画出路线图，则更清晰明了。

3.数学语言表达能力

表达是将内部思想感情转译成语言的一种外显过程，是学习结果的一种体现。数学语言表达能力是通过口头或书面的数学语言将自己对数学的认识和理解叙述出来使他人明了的一种能力。对小学生来说，数学语言表达能力主要是对数学的口头表达能力。按照语言表达的发展顺序和层次，可将数学语言表达能力分为独白式表达能力、对话式表达能力两种能力，其主要内容和具体表现见表2-5。

表2-5　数学语言表达能力的主要内容和具体表现

（1）独白式表达能力

独白式表达能力通俗讲是自言自语，是学生进行自我对话的一种能力。对于数学语言而言，当学生经过理解和转译之后，实际上已经将外部的信息纳入自己的认知结构，并形成内化的知识，而独白式表达则是将这种内化的知识外显化。通常而言，独白式表达分为三个层次：一是学生口头正确地表达数学语言的含义，但可能层次不清，逻辑不严谨；二是学生使用一定语言表达技巧，提取主要信息，有逻辑、有步骤地进行数学语言独白表达，其语言具有一定的概括性、简洁性与严谨性；三是在表达过程中能够主动反思并监控语言表达中数学概念的严谨性，表达层次的清晰性和逻辑的正确性。例如，学生在通过动手计算“三角形的内角和是180度”后，当老师提问“三角形的内角和为什么是180度”时，学生的第一个反应即是一种数学语言的独白式表达：将三角形的三个角撕下来可以拼成一个平角，平角是180度，所以三角形的内角和是180度。这种独白式表达有可能没有出声，但实际上已经发生，在独白式表达过程中学生可以反思调整语句顺序，增强会话表达的效果。可见，独白式表达是学生自我学习数学语言的一种主要能力。

（2）对话式表达能力

对话式表达能力是两个或两个以上的人之间围绕一定的主题进行信息交流的一种能力。数学语言的对话式表达是学习者之间围绕数学话题所进行的对话交流过程。小学生的对话式表达通常表现为三种形式：一是师生问答，师生之间通过提问的形式，对数学相关知识或容易混淆的地方进行交流；二是小组讨论，小组之间围绕共同的话题进行讨论交流，形成一致结论的过程；三是质疑争辩，围绕有争论的话题，双方或多方进行争论辨析，通过辨析形成一致性结论。小学生在对话表达时，需要正确表达自己的观点并使对方清楚，同时还要能够根据对方观点形成对话焦点，进而做出合理性解释。另外，在表达过程中，需要灵活运用各种语言技巧和表达形式，以增强语言的感染力。因此，对话式表达能力是一种综合能力，既能体现数学学科语言的成果，又能体现数学教学语言和数学化语言的魅力。