数学语言是随着数学自身的发生和发展而逐渐成长起来的，是储存、传承和加工数学思想的工具。^[16]作为一门工具性的专业语言，数学语言具有文字、符号和图表三种表征形式，这些语言表征形式相互结合，在不同的场域呈现出不同的实践样态。

1.知识样态的数学学科语言

数学语言主要反应数学学科独有的概念、定理、公式、公理、问题解决等学科知识的思想方法。因此在学术场域，数学语言以知识的样态存在于数学专著、数学教材和数学研究论文中，表现为数学学科语言。作为数学知识的反应，数学学科语言与数学知识紧密相连，具有数学知识的三种属性。一是准确性，从数学知识的特性来看，数学要求透过复杂的表象直达事物的本质，因此反应这种规律的语言必然要求准确；二是简洁性，从数学知识的形式来看，数学知识多是以符号、图表等来刻画事物的规律，反应这种要求的语言，也常以尽可能少的词句表达思想的深刻性；三是逻辑性，从数学知识的呈现顺序来看，数学知识是按照学科知识框架，分层次、有梯度螺旋上升呈现的，知识间有着严格的数理逻辑，作为表达这种逻辑的语言也必然具有一定的逻辑条理。显然，数学学科语言的这三种属性与数学语言的特性不谋而合，因此，知识样态的数学学科语言等同于狭义上的数学语言。在具体的表征上，也呈现出文字语言、符号语言和图表语言等纯粹意义上的数学语言的三种形式并举的态势，由此推动数学学科知识的进步。鉴于上文对数学语言三种形式的详尽介绍，此处不再赘述。

2.学习样态的数学教学语言

数学语言的传承必然要经过学习。在当代学习环境下，学习的发生离不开教师的教学，因此，在学习场域，数学教学语言成为数学语言发展的一种新样态，并越来越多地影响着数学语言学习的效率。数学教学语言是教师和学生在数学教学与学习中，互相交流所使用的语言。这种语言一方面要兼顾数学学科知识的传承，需要使用相当多的数学学科语言即数学的概念、术语等；另一方面，要保证数学语言顺利被学生同化，必然需要搭建桥梁，用自然语言来解释数学语言，将数学语言转换为学生容易理解和接受的语言形式，即构建学生学习的脚手架。由此，需要各种形式的自然语言来进行辅助，比如，学习“8加5等于几”，为了便于学生理解，需要借助小棒使用“凑十法”，“把5分成2和3，8+2等于10，10再加3等于13，所以8+5=13”，这种借助小棒的讲解便是数学教学语言。可见，数学教学语言是介于自然语言与数学语言之间，是一种汇合式语言，具有鲜明的特性。

一是易懂性。数学教学的目的是让学生理解和掌握数学知识，因此，易懂是对数学教学语言的基本要求。例如，一年级的小学生认识正方形，我们只能说“像这样方方的，四条边一样长的图形就是正方形”，而不说“四条边相等且相邻边相交成直角的图形是正方形”。这样的语言描述由于结合了具体事物和直接的感官认知，学生理解起来更容易，如果从纯数学上去定义，反而会让学生理解起来有困难，达不到教学的目的。

二是科学性。科学性是数学学科自身对数学教学语言所提出的要求，即数学教学语言必须是正确的，不能为了让学生容易理解而犯知识性的错误。例如，学生学习分数时，老师为了让学生容易理解，常用“把一张纸分成4份，取其中的1份是”的话语来描述，但恰巧忽略了分数是建立在“平均分”上的本质，由此会导致学生产生认知的误区。再如，除法竖式计算时，把起强调的“余数必须小于除数”说成“余数不能大于除数”，把“30是6的倍数，6是30的约数”说成“30是倍数，6是约数”等，都是错误的。这些教学语言的不科学会导致学生理解上的不严谨，给学生学习埋下隐患。

三是启发性。启发性是有效教学对教学语言提出的要求。有效教学特别注重学得有效，而这需要教师用启发性的语言去引导学生参与学习、自我质疑、探究并得出结论。比如，一位教师上“两位数乘两位数”一课，在共同学习得出两位数乘两位数的算法并进行练习后，老师进行了这样的教学启发：

师:观察我们的计算结果：18×12=216，32×43=1376，25×25=625，40×56=2240，你们发现两位数乘两位数的积是几位数呢？

生：两位数乘两位数，积可能是三位数，也可能是四位数。

师：那什么时候积是三位数？什么时候积是四位数？请独立思考一下，然后小组交流。（生思考交流）

生：当十位上的数相乘大于10，积是四位数，没有满10，积是三位数。

师：是这样吗？有没有不同意见？能够举一个例子吗？

生：35×35=1225，虽然十位上的数相乘没有满10，但积也是四位数。(www.daowen.com)

师：谁能够将刚才的结论进行补充？

生：当十位上的数相乘大于10，积一定是四位数，没有满10，积可能是三位数，也可能是四位数。

在这一教学片段中，教师的语言没有明确的答案，而是通过问题启发学生自己思考，最终得出一般性结论，可见教师的教学语言富有启发性。

学习样态的数学教学语言是数学语言在实践应用的特殊场域中所发展的特殊样态，本质上数学教学语言仍是数学语言，尽管其语言特征趋向于多样性，但其本质上仍然要符合数学语言准确、严谨和简洁的特征，即具有科学性；同时，根据学生的特征和学习心理，对抽象知识进行了艺术化的处理，从而表现出易懂性和启发性的个性特征。由于实践中数学教学语言对教师和学生学习数学具有重要意义，因此，这种数学语言样态的教育实践价值更大。

3.生活样态的数学化语言

知识的最终价值在于改善生活，为人类文明的发展服务。数学作为培养人思维的一门学科，对人类生活的作用体现在改善人的思维方式上。思维方式的改善可以影响语言的形式，从而使生活场域下的各种语言带有数学语言的特征。这种具有数学语言特征、反应数学思想的语言可称之为数学化语言。区别于数学语言和数学教学语言内容的局限性与狭隘性，数学化语言内容广泛，主题多样，可以是管理学、社会学、文学等各个学科层面，生活层面交流使用的语言，这种语言不分民族、文化，具有普遍的生活样态。尽管语言领域不同、内容不一，但这种语言结构上具有逻辑性、层次性，内容上具有严谨性，可以看作是受数学语言影响而产生的数学化语言。比如，清华大学经济管理学院院长钱颖一在题为“中国教育好在哪里？问题在哪里？”的演讲最后所做的概括，就体现了生活样态的数学化语言特征。

以上是我对当前中国教育问题和这些问题对经济和社会发展影响的三个观察，可以用“均值”和“方差”来概括：

一是我们的优势是基础知识和技能的“均值”较高，这对过去30多年中国经济增长起到了推动作用。

二是我们的劣势是基础知识特别是能力的“方差”太小，杰出人才少。这就导致创新不足，对未来中国经济以创新驱动发展非常不利。

三是教育除了为经济服务的功利作用之外，教育对人的素养培养和人的价值塑造以及对文明社会建设更为重要，而人的素养的“均值”低却“方差”大，是中国实现“人的现代化”的重要掣肘。

上文作为数学化语言，并非是因为文中应用了数学的专业术语“均值”和“方差”，而是作为非数学领域的话语，其结构严谨，层层递进，语句简练，内涵丰富，体现了数学语言精确、严谨、抽象和简洁的特性，因此，可以看作是一种数学化语言。

显然，数学化语言不是说简单掌握数学概念、术语就能表达的语言，使用它必须对数学思想方法谙熟于心，并且思维方式上具有数学思考和解决问题的严谨性，并善于将这种思维迁移到生活的其他领域。因此，数学化语言是一种高级的数学语言，是数学发展、人的思维的本质体现。

综上，数学语言的三种样态是数学语言在实践中的不同体现与丰富，也是数学语言不同发展阶段的体现，因此，三种样态在地位上并不是并行的，而是有高低之分的。一般而言，数学语言的知识样态是一种普遍的样态，是数学语言发展的低级样态；学习样态则是对知识样态语言掌握的基础上的一种融会贯通，是数学语言的中级样态；而数学化语言则是超越知识样态和学习样态的一种高级样态。小学生初步接触数学语言时，其数学语言及能力正在形成和完善中，因此，接触的数学语言样态更多是知识样态和学习样态，当知识样态和学习样态的数学语言丰富到一定程度后，则可形成生活样态。从这个角度而言，数学语言的学习是一个从知识样态经由学习样态到生活样态的发展过程，这也从一个侧面凸显了学习样态中教师教学的重要性。