不同的语言具有不同的表征形式。文学语言擅长以优美细腻的词句刻画事物，形成对事物感性的认知；美术语言倾向于用线条色彩勾勒事物，形成对事物的主观感受；作为反应数量关系和空间形式的数学语言，则更喜欢用简单的文字、符号和图像描述事物，形成对事物本质的认识。因此，从表征形式而言，数学语言可分为文字语言、符号语言和图表语言三种形式。

1.文字语言

数学中的文字语言是数学化了的自然语言，或者称为自然语言中的数学语言。数学化具有两层含义，一是被数学学科所采用，表达数学学科独有的概念、术语，这种数学化不是自然地简单移植、嫁接或组合，而是根据数学学科需要，经过一定的加工、改造、限定和精确化所形成的数学语言。比如数学中各种名称“直线”“射线”“线段”“相似”“全等”“垂直”“相交”等，都是对自然语言的精确化，而“扩大几倍”“缩小到原数的几分之几”“增加几倍”等则是对自然语言的使用进行限制，从而产生新的含义。这类数学化的概念、术语构成数学学科的基本语言体系，是文字语言的主要组成部分。二是在数学情境中使用，描述数学问题所使用的自然语言。如“一辆小汽车每小时行驶80千米，一辆大客车每小时行驶40千米，两辆车各行驶了4小时，一共行驶多少千米？”虽然这种传统的问题没有专门的数学概念和术语来解答，但是其描述的是一种数学模型，因此，这种数学化的语言也是数学中的文字语言。这种文字语言由于在形式上接近自然语言，因此，更容易被学生理解和接受，是数学文字语言的重要组成部分。

2.符号语言

数学是形式化的科学。形式化的重要特点之一是数学符号的使用，通过符号将数学严谨的逻辑进行演绎，由此构建数学的知识体系，可见符号是数学的根本特征，以至于有研究者把数学语言定义为“表达数学对象之间的关系和形式的符号系统”。^[12]符号语言是数学中通用的、特有的简练语言，是数学语言的重要组成部分。

按照符号在数学学科中的用途，符号语言可以分为三类：定义符号、运算及关系符号和辅助符号。定义符号是对数学对象的名称、位置结构、数量关系和数学现象进行特殊化规定所形成的符号，如数学中三角形用“△”表示，角用“∠”表示，即是符号语言对数学对象的描述；表示位置结构中垂直常用“⊥”，平行用“∥”；而全等用“≌”，相似用“∽”，则表达两个数学对象之间的一种关系。运算及关系符号是为了进行数学运算和数学逻辑推理而规定的符号，比如运算符号中“+、－、×、÷”等，可以简化数学语言的书写表达；关系符号中大于“＞”、小于“＜”、不等于“≠”、并集“∪”、交集“∩”，等，可以进行形式的推理和运算。辅助符号则是为促进对数学的理解而约定俗成的一种辅助计算和思考的符号，如表示“加”的含义或过程的符号，如“\/”“”等；表示“减”的含义或过程的符号，如“\”；表示“对应”意义的符号，如“|”“…”“︙”；表示“退一作十”符号，如被减数头上的“·”；标记“优先计算”，如“1+3×2”中的下划线；描述“变化”的符号，如“→”，其含义有转化、移至、移开和某物体的运动轨迹、指向。^[13]

3.图表语言

图表语言是用图或表对数学对象和关系进行描述的语言。图表语言具有简洁、生动、形象和直观的特点，比文字语言和符号语言更有说服力，因此，现代数学中图表语言使用越来越多。

根据图表使用形式的不同，图表语言可分为三种形式：图形语言、图像语言和表格语言。图形语言是用图形表示数学对象的特征，包括直观形象图、抽象几何图、线段图和集合维恩图等形式。小学阶段用得较多的是前三种形式。

图2-1　是一种直观形象图，描述的是“10头牛加上2头牛，一共有几头牛？”。这样的形象图形符合低年龄段儿童的认知特点，因此更容易被儿童理解和认可。

图2-1　直观形象图

图2-2　是一种抽象几何图，描述的是“边长4cm的正方形有一个角被边长2cm的正方形遮住，求剩下空白部分的面积”。通过图形可以很清楚地看到遮住部分是边长1cm的正方形。

图2-2　抽象几何图

图2-3　的线段图，可以直观感受两个量间的关系，“乙比甲多35”，从而有利于学生分析问题，找到解决问题的方法。显然这种图形语言有助于学生的数学理解和问题解决。(www.daowen.com)

图2-3　线段图

图像语言是用函数图像和统计线图对数学对象进行描述的语言，由于小学阶段尚没有接触函数图形，因此使用更多的是一种统计图像，典型的如折线统计图（见图2-4）。

图2-4　1984—2012年中国和美国奥运金牌统计图

从图2-4　中可以直观看到1984—2012年中美两国奥运金牌的数量和变化，相较于文字和数据，利用这种统计图像可以快速把握趋势，做出合理的解读和预测。

表格语言是用数据表格对数学对象进行描述的语言，主要包括统计数据表、分析表和整理框架图等。小学阶段运用较多的是统计数据表和整理框架图。

表2-1　四年级（1）班学生体重统计表

表2-1是四年级（1）班学生体重统计表，从中可以看出四年级（1）班学生体重的分布情况以及集中程度。

整理的框架表通常用于复杂数学情境中，作为一种解决问题的方法策略，学生利用其整理有用的数据信息，可以对信息进行有效分析，从而提高解决问题的效率。如苏教版小学数学四年级上册教科书解决问题策略的例题：

此题信息容量大，关联信息多，如果不对信息进行处理加工，就很难理清信息间的关系，而采取列表的策略则有利于学生解决问题。由此可以形成表2-2来解决问题。

表2-2　复杂信息整理框架表

可见，图像语言是数学形象思维的重要载体和中介，是一种直观性语言，在数学表达和数学问题解决中发挥着重要的作用。尤其在当今信息化社会，人们会经常在各种媒体上看到某种有一定数学意义的图形、图像或表格，这些图形、图像或表格作为信息传递的一种形式，不仅具有与文字信息相同的功能，而且比文字信息更直观。所以，掌握图表语言是现代社会的要求，学生必须学会读图，掌握图表语言，要能够从图形、图像和表格中读出蕴含的信息来。^[14]

综上，文字语言、符号语言和图表语言是数学语言的三种主要形式，各自有优点也有不足，文字语言易于理解但表达烦琐，符号语言简洁但比较抽象，图像语言直观但易形成表象。数学语言的运用要扬长避短，在表述不同问题时，根据不同目的选择合适的语言形式；在描述同一问题时，也可以将三种语言进行结合，从而使问题阐释得更加深刻。数学语言表征的这种多样性和同一性，利于培养学生思维的灵活性，但不同语言表征之间的转换也给学生数学语言的学习带来了挑战。