自从数学诞生之日起，什么是它最伟大或者说最引人注目的发明呢？可能的答案有两个：一个是微积分，另一个是非欧几何。其中非欧几何对我们的触动也许更大。因为它太不平常了，它的发现有如哥伦布发现新大陆、弗洛伊德发现无意识，在人类的视野中打开了一片广阔的新天地，一片无人走过的、肥沃的处女地，人类在这里可以尽情地耕耘、收获。

千年以来，欧几里得几何一直被认为是唯一的几何学，《几何原本》中的内容也被当成不可更改的至高真理，而欧几里得在《几何原本》中提出的五个公设也当然地被视为这至高真理的核心。

这五个公设分别是：

1.给定两点，可连接一线段。

2.线段可无限延长。

3.给定中心和圆上一点，可做一个圆。

4.所有直角彼此相等。

5.如一直线与两直线相交，且在同侧所交的两个内角之和小于两个直角，则这两直线无限延长后必定在该侧相交。

这五个公设被欧几里得认为是理所当然、无须证明的，是他整个几何学的基础理论。那么实际情形是不是真的这样呢？前面四个公设大家都没有什么意见，它们都简单明了、一目了然、令人信服。这第五公设就不大一样了，它要长得多，作为一个应该是不言而喻的公设显然不够自明。

因此之故，便有许多数学家试图通过各种方法，例如通过前面四条公设以及欧几里得的五条公理，来证明之。但结果无一成功。于是便有聪明人反其道而行之，否定它，看会有什么结果。这一否定便掀开了几何学乃至整个数学史上革命性的一页——非欧几何的诞生。

罗巴切夫斯基　最早创立非欧几何的是高斯，但他并未公布之，这我们上面刚刚说过了，所以这个创立者的荣誉就归于罗巴切夫斯基了。

罗巴切夫斯基1793年生于俄罗斯的下诺夫哥罗德，只有7岁时父亲就去世了，母亲被迫搬到了比下诺夫哥罗德更加偏远的喀山。罗巴切夫斯基从小刻苦学习，成绩优异，从小学到大学都得到了奖学金，免费上学，1811年从喀山大学毕业并且获得硕士学位时才18岁，留校后23岁时就成为教授，34岁时成了喀山大学的校长。

1826年2月，他在喀山大学物理数学系的一次学术会议上，做了题为《附有平行线定理的一个严格证明的几何学原理之简述》的学术报告，在报告中他阐述了一种“虚几何学”存在的可能性。这“虚几何学”就是非欧几何，这一天后来被公认为非欧几何的诞生之日。1855年，适逢喀山大学建校50周年，罗巴切夫斯基作为已经离职的老校长参加典礼，随身带去一部《泛几何学》，系统地记录了他的非欧几何思想，这也是他一生思想的总述。

几个月之后，1856年2月，罗巴切夫斯基去世了，时年62岁。

罗巴切夫斯基所创立的非欧几何也只是非欧几何大厦的一部分。也可以说，罗巴切夫斯基的非欧几何与欧几里得的古典几何学都只是一种更为广泛的几何学的一部分，在它们之上还存在着一种更新、也更为根本的几何学。这种更为基本的几何学就是黎曼几何学。罗巴切夫斯基几何学与黎曼几何学合起来才是完整的非欧几何学。

黎曼　黎曼是德国人，1826年生于汉诺威。父亲是一个新教路德派的牧师，母亲很早就去世了。大约从6岁起黎曼开始学习数学，很快便露出了这方面的天才，十来岁时已经开始学习高等数学了。

1846年，他进入哥廷根大学神学系，但很快转到了数学系。这时候黎曼又开始喜欢物理学，由于埋首钻研物理，他的数学博士论文直到1851年才完稿，然后他将之呈给了伟大的高斯，获得了高斯极高的评价。1853年底，黎曼向哥廷根大学递交了他的讲师就职论文《关于利用三角级数表示一个函数的可能性》并顺利获得讲师资格。为了正式上课，他还得进行一次就职演讲，这是一种当堂讲演，类似于上课，听课的学生则是考评他讲课能力的教授们，其中包括高斯。

他就职演讲的题目是《关于构成几何基础的假设》。这个讲演被称为数学史上最著名的讲演之一，黎曼几乎以之勾勒出了一套全新的几何学，这就是黎曼几何学。1859年，黎曼成为哥廷根大学的天文学教授兼天文台台长，这年只有33岁。次年，黎曼发表了《关于热传导的一个问题》，在其中发展了二次微分形式。这篇文章有什么意义呢？很简单，50来年后，爱因斯坦的相对论就是用这种方法为基础的。

黎曼从小健康状况就不好，1864年底，健康已经恶化的黎曼到了意大利的塞拉斯加休养，住在湖畔的一栋别墅里。一年多后死于此，未满40岁。黎曼虽然一生短暂，但对数学做出的贡献极大，数学里有许多用“黎曼”来命名的数学名词，例如：函数论有黎曼方法、关于代数函数有黎曼-罗赫定理、黎曼曲面、黎曼映射定理、黎曼积分、三角级数理论中的黎曼方法、黎曼几何、黎曼曲率、黎曼ζ函数、黎曼假设，如此等等。

以上我们讲了非欧几何两位著名的发明者罗巴切夫斯基和黎曼生平的故事，现在我们就来谈谈他们所发明的非欧几何，即罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。(www.daowen.com)

非欧几何：玄之又玄，众妙之门　我们知道，两种非欧几何是从否定欧几里得几何学的第五公设出发而建立的。为什么从共同的基础出发会产生两种不同的非欧几何呢？我们还是从第五公设来看吧。

欧几里得的第五公设可以简单地表述为：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。对它的否定有两种可能。

第一种可能是：在同一平面上，经过直线外一点，不止一条直线与已知直线平行。

第二种可能则是：在同一平面上，经过直线外一点，没有直线与已知直线平行。

那么这两种说法哪种对呢？答案是：两种都对。罗巴切夫斯基正是从前者出发，得出了他的罗巴切夫斯基几何学，而黎曼则从后者出发，得到了他的黎曼几何学。我们先来看更早诞生的罗巴切夫斯基几何学。罗巴切夫斯基几何学的出发点是罗巴切夫斯基平行公理：在同一平面上，通过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行。我们这里要注意的是，这里的平行意思就是永不相交。

依据这个公理，罗巴切夫斯基得出了一系列的其他定理，我们这里且举几个：

1.在同一平面上不相交的两直线，被第三条直线所截，同位角（或内错角）不一定相等。

2.同一直线的垂线和斜线不一定相交。

这两个定理可以用图示如下：

在左边的图形中，就是说直线a与直线b是永不相交，即平行的，而且∠α≠∠β。而右边的图形中，直线a和b永不会相交。

3.三角形内角和小于两直角。

4.两三角形若有三内角对应相等，则两三角形全等。

如此等等，类似的定理还有很多。看得出来，这四个定理与我们在欧几里得几何学中所见过的都大为不同，而且似乎都是错的，不符合我们的直观。然而，如果深究它们，却可以发现在这貌似的谬误之下蕴藏着深刻的真理。

我们再来看黎曼几何学。黎曼几何学的出发点是上面否定欧几里得第五公设的第二种可能性，即在同一平面上，经过直线外一点，没有直线与已知直线平行。或者也可以说成：在同一平面上，任何两条直线一定相交。或者还可以说成：世界上并不存在无限延伸的直线，任何直线都是有限的。

为什么这么说呢？我们如果真的沿着欧几里得那种纯粹的“平面”上的直线行走，那么自然永远走不到尽头，也就是说直线是无穷的。但实际上有没有这样的平面呢？没有。举个例子吧，假设我们在大地上的某一点铺一根长长的白纸条，一路铺过去，就像一路将一条直线画过去一样，那么这纸条会不会永远没有尽头呢？答案是否定的。事实上，铺过很长很长后，我们会发现，前面就是我们从之出发的端点。

这样的原因大家都明白：因为地球是一个球体，因此那些我们在地上画出来的直线实际上并非直线，而是曲线。当我们顺着地球表面延伸时，它走过的路实际上有如地球的一条经线或纬线，这样当然必定相交。与直线相应，由直线的一部分线段构成的三角形也差不多，我们现在在纸上画一个三角形，看上去好像是由三条直线构成的，实际上不是，由于它们是画在一张纸上的，而纸是铺在大地上的，而大地表面可不是理想的平面，而是一个球面，因此那三角形也就是一种“球面三角形”。

这种球面三角形有什么特点呢？它的主要特点就是三内角和大于180°。这就是黎曼几何学得出的另一个独特的定理，可以看出来，它与罗巴切夫斯基几何学中的三角形三内角和小于两直角刚好相对。进一步地，黎曼设想出了这样一种几何学，它适合各种面，包括平面与曲面。就像在丘陵地带行走一样，它有些地方是平坦的，但有些地方却有着各样的山包高地等。在这样的地形，两点之间距离的计算公式将随着地点的不同而变化，例如在平面上是直线的，到了山包就是曲线了，二者计算距离的公式当然有所区别。因为这里有了一个所谓“曲率”的问题，而黎曼就是要找到这样一种几何学，它能够根据曲率的不同而自行调整，并且能够计算出各种曲率下的距离等。与线段的长度相似，黎曼认为平面与立体的空间也是这样，它也有着自己的“曲率”，由于“曲率”的不同，空间呈现不同的形式，他的几何学能够将所有这些空间统一起来。所有这些空间被总称为“黎曼空间”。

看得出来，黎曼空间较之我们平常所称的空间内容要丰富得多，我们平常所称的空间乃是黎曼空间的一种特殊形式，精确地说，它就是欧几里得几何学的空间，它的曲率为零。与之相对，罗巴切夫斯基几何学中的空间的曲率为负，而黎曼几何学的空间曲率为正。所有这些空间都属于“黎曼空间”。这“曲率”说明了什么呢？简而言之，它说明了空间就像线一样是可以弯曲的，它可以有自己的“曲率”，即弯曲的比率、程度或者形式。空间难道可以弯曲吗？有点不可思议吧？但事实上它不但可以，而且这弯曲的空间并非一种纯粹的数学幻想，而是实际存在的，它后来被爱因斯坦证实了，这就是我们后面讲物理学时要说的广义相对论。

在这里，爱因斯坦指出，一个物体，例如太阳或者行星，能影响周围时间与空间的特性，使空间弯曲。爱因斯坦在描述弯曲空间时所使用的工具就是黎曼几何学。这种弯曲空间已经为科学观测所证实，这也是我们在本书后面将会讲的广义相对论的验证之一。