根据马科维茨投资组合理论，投资者的投资组合选择被分为了两个主要步骤：第一步是找到包括所有资产的可行集和有效集；第二步是单个投资者根据自身偏好、效用函数和无差异曲线找到最优投资组合。

（一）找到所有资产的可行集和有效集

可行集，又称可行域（feasible region），即可能的所有投资组合的集合。有效集，又称为有效边界或有效前沿（efficient frontier）。对理性投资者而言，对于既定的风险水平，他们会选择更大的预期收益率（非饱和性）；对于既定的收益水平，他们会选择最小的风险水平（风险规避）。因此，能同时满足这两个条件的投资组合的集合才成为有效集，而有效集中的点所代表的投资组合称为有效投资组合（efficient portfolio），如图9－2所示。

图9-2　可行集与有效集

图9－2中，M点所代表的组合称为最小方差组合，或最小方差点（MVP）；曲线AB称为最小方差集；曲线BM为有效集。下面分别以两项风险资产和n项风险资产的组合为例，来说明如何找到组合的可行集和有效集。

1.两项风险资产的组合：

第一种情况：不允许卖空。

假设ERA、ERB、ERP为资产A、B与投资组合的预期收益率，σA、σB、σP为资产A、B及投资组合的标准差，ωA、ωB为按市值计算的风险资产A、B在最终投资组合中所占的权重。可得组合的期望和方差如公式9－1和公式9－2所示。

进一步，变换两资产在组合中所占的比重，可以模拟出不同系数ρ情况下组合的标准差与预期收益率的关系，如图9－3所示的图形，即可行集。在此基础上求解在既定预期率收益水平下的最小标准差组合和标准差既定下的最大预期收益率组合，就得到了有效集。

图9-3　两种证券的风险—收益关系（不允许卖空）

第二种情况：允许卖空。

假设有两只股票，如表9－3所示。

表9-3　股票1和股票2的预期收益率和标准差

假设股票1和2相关系数为0与0.5，那么在股票1的权重由100%逐渐增加到200%时，组合的预期收益率与风险值如表9－4和图9－4所示。

表9-4　改变权重时组合的预期收益率与风险值

图9-4　两种证券的风险—收益关系（允许卖空）(www.daowen.com)

2.n项风险资产的组合。将两项风险资产推演到n项风险资产的组合情况，可以得到组合的均值和方差分别为公式9－3和公式9－4。这里先给出公式中的符号含义：

ERi：第i项资产的预期收益率。

δi：第i项资产的均方差或标准差。

δij（i≠j）：资产i，j之间的协方差。

ωi：第i项风险资产在整个投资组合中的权重。

根据理性行为人的风险规避假设，投资者只需在既定预期收益率约束条件下，使组合方差最小，从而找到最小方差集（minimum-variance set）或称为最小方差前沿（minimum-variance frontier），再根据非饱和性假设找到有效集（这实际上是一个二次规划问题）。如公式9－5所示：

s.t.

ωi≥0，∀i＝1，2，…，n

值得注意的是，这是马科维茨最初的研究结果，即在不存在无风险借贷且不允许卖空风险资产条件下的最小方差集（该模型的求解可借助专门的计算机程序或软件包）。

若假设允许风险资产卖空，放宽马科维茨的无卖空限制，那么我们可以将前面的二次规划问题改写为公式9－6。

s.t.

（二）最优投资组合的选择

分析了两项风险资产模型和n项风险资产模型后，得到了在不存在无风险资产条件下可供投资者选择的有效集（可看作备选方案）。这样在引入投资者风险规避假设后，即可确定某一投资者的最优风险资产组合，该组合必然是有效组合边界MB曲线与投资者无差异曲线的切点做代表的投资组合，如N点、G点，如图9－5所示（关于最优投资组合选择的数理模型请参阅相关书籍）。

图9-5　最优投资组合