一、同角的正弦型与余弦型函数之和化为正弦型函数，求函数的最值和周期

主要知识点

任意角的三角函数的定义；正弦的和角、差角公式；特殊角的三角函数数值表；把形如f（x）＝a sin ωx＋b cos ωx 的函数化简成正弦型函数；正弦型函数的最值和最小正周期.

重要概念、公式

（1）若P（x，y）是角α 终边上的一点，则 OP＝r ＝________， sin α ＝________，cos α＝________， tan α＝________.

若点A（－3，4）是角α 终边上的一点，则r＝________，sin α＝________，cos α＝________，tan α＝　.

（2）两角和与差的正弦公式：

sin（α＋β）＝____________________；

sin（α－β）＝____________________.

（4）把形如f（x）＝a sin ωx＋b cos ωx 的函数化成正弦型函数：

（5）正弦型函数y ＝A sin（ωx＋φ）＋m：

把函数f（x）＝sin x－cos x 化成正弦型函数.

2.把函数f（x）＝2 sin x＋2 cos x 化成正弦型函数，并求它的最大值、最小值和最小正周期.

二、化简三角函数并利用正弦型函数图像解决有关问题

主要知识点

同角三角函数的基本关系；诱导公式；两角和与差的正（余）弦公式；二倍角公式；正弦型函数的图像性质.

重要概念、公式

（1）同角三角函数基本关系式：

sin2α＋cos2α＝________；tan α＝________.

（2）诱导公式：

sin（3π－α）＝________；sin（－α）＝________；cos（－α）＝________；

sin（－π－α）＝________；cos（π－α）＝________；

（3）两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

sin（α＋β）＝________________；sin（α－β）＝________________；

cos（α＋β）＝________________；cos（α－β）＝________________.

（4）二倍角公式：

sin 2α＝________________；

cos 2α＝________________＝________________＝________________.

sin α cos α＝________sin 2α；cos2α＝________（用cos 2α 表示）；

sin2α＝________（用cos 2α 表示）.

（5）正弦型函数y ＝A sin（ωx＋φ）＋m（A＞0，ω＞0）在一个周期内的单调性：

因为当x 增大时，“ωx＋φ”也增大，所以这里可以把“ωx＋φ”看成一个整体.正弦型函数y ＝A sin（ωx＋φ）＋m 的图像变化趋势与正弦函数y ＝sin x 完全一致，如图所示.

当________≤ωx＋φ≤________，k∈Z 时，y ＝A sin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）为增函数；

当________≤ωx＋φ≤________，k∈Z 时，y ＝A sin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）为减函数.

【例3】　已知函数f（x）＝（sin x－cos x）2＋a，（1）求该函数的最小正周期；（2）当f（x）＝3时，求a 的取值范围.

解：（1）f（x）＝（sin x－cos x）2＋a ＝sin2x－2 sin x cos x＋cos2x＋a

＝－sin 2x＋1＋a.

（2）当f（x）＝3 时，有－sin 2x＋1＋a ＝3，所以a ＝2＋sin 2x，即a ＝sin 2x＋2.

又因为sin 2x∈［－1，1］，所以sin 2x＋2∈［1，3］，

所以a∈［1，3］.

【例4】　已知函数f（x）＝sin2x＋2 sin x cos x＋3 cos2x，（1）求f（x）的最大值及最小正周期；（2）求f（x）的单调递减区间.

三、解三角形

主要知识点(www.daowen.com)

直角三角形的边角关系；任意三角形的边角关系；特殊角的三角函数值.

重要概念、公式

（1）直角三角形边角关系：

如图所示，在直角△ABC 中，a，b，c 分别是A，B，C 的对边.

勾股定理：c2 ＝________.

边角关系：sin B ＝cos A＝________，cos B ＝sin A＝________，tan B ＝cot A＝________.

（2）任意三角形边角关系：

如图所示，在△ABC 中，a，b，c 分别是A，B，C 的对边.

②余弦定理：a2 ＝_________________，b2 ＝________________，c2 ＝________________，

cos A＝________________，cos B ＝________________，cos C ＝________________.

（3）特殊角的三角函数值：

【例7】　已知在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，A 是锐角，且cos A 是一元二次方程4x2 ＋3x－1 ＝0的一个根，求△ABC 的面积.

解：由4x2＋3x－1 ＝0 得（4x－1）（x＋1）＝0，

1.如图所示，小李在河边步道（直线型）散步，他在A 点看到河对岸有座地标建筑B，当他由A 往C 方向步行1 000 m 到达D 点后，发现∠BDC 比∠BAC 大45°，且，求该地标建筑B 到直线CA 的距离BC 的长度.

2.要测量一个湖两侧A，B 两点间的距离，选择适当位置C，用仪器测得∠ACB 为钝角，且sin ∠ACB ＝0.8，AC ＝500 m，BC ＝400 m，则A，B 两点间的距离为多少米？

8.已知在△ABC 中，sin A＝sin B cos C，（1）求B 的度数；（2）若AB ＝8，BC ＝4，M 为AB 边的中点，求cos ∠ACM 的值.

9.在锐角△ABC 中，B ＝60°，cos A 是方程5x2－13x＋6 ＝0 的根，（1）求cos C 的值；（2）若BC ＝20，求边AC 的长.

四、三角函数的计算

主要知识点

三角函数的定义；特殊角的三角函数值；同角的三角函数基本关系；诱导公式；两角和与差的公式、二倍角公式.

重要概念、公式

（1） 若　角α 的　终　边　经　过　点P （x， y）， 则r ＝________， sin α ＝________，cos α＝________.

（2）sin α cos β＋cos α sin β ＝________，cos α cos β－sin α sin β ＝________，

2 sin α cos α＝________，2 cos2α－1 ＝________，tan 2α＝________，

6.已知函数f（x）＝11＋4 sin x＋cos 2x，（1）当x 为何值时，f（x）有最大值，最大值是多少？（2）当x 为何值时，f（x）有最小值，最小值是多少？

五、证明三角函数恒等式或化简求值

主要知识点

和差角、二倍角公式；诱导公式；同角三角函数的基本关系式等.

重要概念、公式

（1）sin（α±β）＝________________，

cos（α±β）＝_________________，

tan（α±β）＝________________.

（2）sin 2α＝________，cos 2α＝cos2α－________，cos 2α＝2 cos2α－________，

cos 2α＝1－________，tan 2α＝________.

所以左边＝右边，

故原等式成立.

温馨提示：在证明三角恒等式时，一般情况下都是采用由繁化简的方向化简证明（也可用作差法或比值法证明）；非正余弦的三角函数均可用正弦或余弦函数表示；不同角的三角函数利用二倍角公式转化为同角的三角函数；存在公因式的代数式需提取公因式，便于约分.

所以要使原函数有意义，必须满足1－cos x≠0，cos x≠1，则x≠2kπ，k∈Z，

故函数f（x）的定义域是｛x ｜x≠2kπ，k∈Z｝.

3.已知sin α＝2 cos α，求证3sin α cos α＋cos 2α＋3sin2α＝3.

（1）化简f（x）；

（1）求f（x）的定义域；