等差（比）数列的通项公式、求和公式的运用

主要知识点

等差（比）数列的有关概念；等差（比）数列的通项公式；等差（比）数列的前n 项和公式.

重要概念、公式

（1）等差数列：通项公式an ＝________，前n 项和公式Sn ＝________________.

（2）等比数列：通项公式an ＝________，前n 项和公式Sn ＝________________.

【例1】　已知在等差数列{ an}中，a4 ＝7，a13 ＝－11，（1）求数列{ an}的通项公式；（2）设{ an}的前n 项和为Sn，求Sn 的最大值.

解：（1）设等差数列{ an}的公差为d，则a1＋3d ＝7，a1＋12d ＝－11，

解得a1 ＝13，d ＝－2.

所以数列{ an}的通项公式为an ＝13＋（n－1）×（－2）＝－2n＋15.

所以当n ＝7 时，Sn 取得最大值49.

已知等差数列{ an}的前n 项和为Sn，且S3 ＝－21，公差d ＝4，（1）求数列{ an}的通项公式；（2）若Sk ＝70，求k 的值.

【例2】　已知在等比数列{ an}中，a3 ＝6，a2＋a4 ＝20，且a1＜a3，（1）求数列{ an}的通项公式；（2）求{ an}的前n 项和Sn.

解：（1）设等比数列{ an}的公比为q，由题意得

【例3】　已知在等差数列{ an}中，若a2 ＝5，a5 ＝11，（1）求数列{ an}的通项公式；（2）若bn ＝3an，求数列{ bn}的前n 项和Sn.

解：（1）设等差数列{ an}的公差为d，则a1＋d ＝5，a1＋4d ＝11，

解得a1 ＝3，d ＝2.

所以数列{ an}的通项公式为an ＝3＋（n－1）×2 ＝2n＋1.

（2）由（1）an ＝2n＋1 得bn ＝32n＋1，显然数列{ bn}是首项为27，公比为9 的等比数列.(www.daowen.com)

已知在等差数列{ an}中，a3 ＝1，a7 ＝9，（1）求数列{ an}的通项公式；（2）若bn ＝2an，求数列{ bn}的前n 项和Sn.

【例4】　已知在等比数列{ an}中，a2 ＝2，a5 ＝16，若bn ＝log2an，（1）求数列{ an}的通项公式；（2）求数列{ bn}的前10 项和S10.

解：（1）设等比数列{ an}的公比是q，则2·q3 ＝16，解得q ＝2，a1 ＝1.

（2）因为bn ＝log2an，所以bn ＝log22n－1 ＝n－1.

所以数列{ an}的通项公式是an ＝1×2n－1 ＝2n－1.

所以bn－bn－1 ＝n－1－（n－2）＝1.

已知在等差数列 { an}中，a2 ＝13，a4 ＋a7 ＝12，（1）求数列 { an}的通项公式；（2）若bn ＝10an，求数列lg b1＋lg b2＋lg b3＋…＋lg b20的值.

1.已知在各项均为正数的等比数列{ an}中，a2 ＝3，a4 ＝27，（1）求数列{ an}的通项公式；（2）若bn ＝log3an，求数列{ bn}的前n 项和Sn.

2.已知数列{ an}中满足条件an－3 ＝an－1（n≥2，n∈N∗），且a1 ＝5，（1）求它的通项公式；（2）求它的前20 项和.

3.已知数列{ an}中满足条件an ＝2an－1（n≥2，n∈N∗），且a1 ＝3，（1）求它的通项公式；（2）求它的前6 项和.

4.已知在等差数列{ an}中，a1 ＝24，a4 ＝18，（1）求数列{ an}的公差；（2）设{ an}的前n 项和为Sn，求Sn 的最大值.

5.已知在等差数列{ an}中，a2 ＝15，a5 ＝6，（1）求数列{ an}的通项公式；（2）若Sn 表示{ an}的前n 项和，求S40；（3）若a8，ak，a16构成等比数列，求k 的值.

6.已知在等差数列{ an}中，a1 ＝－22，公差d ＝6，（1）求a30的值；（2）若该数列的前n 项和为50，求n 的值.

7.已知在等比数列{ an}中，an＞0，a3 ＝3，a5 ＝27，（1）求数列{ an}的通项公式；（2）如果等差数列{ bn}的首项是a4，第3 项是a2，判断－31 是不是这个数列中的数，如果是，求它的项数；（3）由（2）求出数列{ bn}的前10 项和S10.

8.已知在等差数列{ an}中，a2 ＝9，a6 ＝81，（1）求数列{ an}的通项公式；（2）若a2，a3 分别为等比数列{ bn}的第2 项和第3 项，求数列{ bn}的前n 项和Sn.

9.已知在等差数列an{ }中，a5 ＝31，a17 ＝7，（1）求数列an{ }的通项公式；（2）当n 为何值时，该数列的前n 项和Sn 最大，最大是多少？

10.已知在等差数列an{ }中，若a4 ＝－26，a7 ＝－14，（1）等差数列an{ }的前多少项和最小？并求出最小和的值；（2）若a8－m，a9，a10＋m 是等比数列，求m 的值.

11.已知an{ }是等差数列，a1 ＝2，a1＋a2＋a3 ＝12，（1）求数列an{ }的通项公式；（2）令bn ＝an＋3n，求bn{ }的前n 项和Sn.