一、排列问题

知识点或考点

【例1】　3 名同学到4 个工厂去实习，每人去一个工厂，不同的安排方案共有（　）.

A.6 种　B.12 种　C.24 种　D.48 种

（1）由数字1，2，3，4 可以组成各位数字不重复的三位数，在这些三位数中共有偶数（　）.

A.12 个　B.24 个　C.36 个　D.48 个

（2）有4 名男同学和3 名女同学一起照相，3 名女同学站第一排，4 名男同学站第二排，不同站法共有（　）.

A.42 种　B.144 种　C.240 种　D.5 040 种

（3）从7 名学生会干部成员中选出2 名同学带领学生会团队参加某志愿者活动，一人负责组织带队，另一人负责安全，则不同的分配方案有（　）.

A.13 种　B.14 种　C.21 种　D.42 种

二、组合问题

知识点或考点

【例2】　有7 个不同的球和3 个不同的盒子，第一个盒子装4 个球，第二个盒子装2 个球，第三个盒子只装1 个球，则不同的放法共有（　）.

A.75 种　B.105 种　C.168 种　D.5 040 种

（1）某班有5 名男生和4 名女生报名参加学校组织的植树活动，如果只能从中选2 名同学参加，则不同的选法共有（　）.

A.18 种　B.36 种　C.48 种　D.72 种

（2）从1，2，3，4，5，6，7，8，9 这9 个数字中，任意取出3 个不同的数，其和为奇数的取法总数为（　）.

A.40　B.90　C.120　D.300

（3）现需安排6 名学生和3 名教师分别去3 所学校参观交流学习，每个学校安排1 名教师和2 名学生，则不同的安排方法共有（　）.

A.120 种　B.240 种　C.540 种　D.720 种

三、典型问题

知识点或考点

分类计数原理和分步计数原理；排列或组合的简单综合应用.

（1）与数字有关的问题

遇数字题，可采用画图框直观表示，再用分步计数的方法或排列的方法进行统计，特殊数字或特殊位置的元素要优先考虑，为了不易出错最好进行分类.

（2）相邻与不相邻的问题

相邻排列常采用“捆绑法”：把相邻的元素捆绑起来看成一个元素与其他元素进行排列，然后再对捆绑的元素内部进行排列.

互不相邻排列常采用“插空法”：先把没有位置要求的元素进行全排列，然后把不相邻的元素插入上述几个元素的空位.

（3）分配的问题

当把不同的元素分配给几个不同对象时， 如果每个对象接受元素不受限制，则一般采用由元素逐一选择对象的方法；如果对象接受元素受限制，则一般采用先对元素按条件进行分组后再进行排列的方法.

（4）产品抽样的问题

首先需要明确几个数量：被抽样本的总数量、合格品的数量、次品的数量、抽取样本的数量.

【例3】　从数字1，2，3，4，5 这5 个数字中随机地有放回地依次抽取3 个数字，则数字3只出现一次的取法总数为（　）.

A.16　B.48　C.75　D.96

（1）由0，1，2，3，4，5 可以组成各位数字不重复的三位数，其中是5 的倍数的数共有（　）.

A.12 个　B.24 个　C.36 个　D.72 个

（2）从1，2，3，4，5，6，7，8，9 这9 个数字中，任意取出3 个不同的数组成一个三位数，且百位和个位均为奇数，十位为偶数，则这种三位数共有（　）.

A.40 个　B.80 个　C.120 个　D.240 个

（3）从0，1，2，3，4，5 这6 个数字中取0 和另一个偶数以及两个奇数，由4 个数字组成没有重复数字的四位数，则四位数的个数为（　）.

A.48　B.96　C.108　D.192

【例4】　（1）李刚和王勇两位同学邀约另外4 位好朋友一起做游戏，6 人排成一排，其中李刚和王勇必须相邻，则不同的排法总数为（　）.

A.120　B.160　C.240　D.320

（2）2 名教师和4 名同学站一排照相，姿势不计，2 名教师互不相邻，则不同的站法共有（　）.

A.120 种　B.240 种　C.480 种　D.720 种

解析：

（1）A，B，C，D，E 5 位同学站一排，其中B，C 必须相邻，且C 在B 的左边，则不同的站法共有（　）.

A.24 种　B.36 种　C.48 种　D.60 种

（2）从1，2，3，4，5 中选出含2 和3 的3 个数字组成没有重复数字的三位数，其中3 和2是相邻位的数共有（　）.

A.6 个　B.12 个　C.24 个　D.36 个

（3）某班将举行元旦晚会，共有3 个舞蹈节目和4 个唱歌节目，如果舞蹈节目不相邻出场，则不同的节目安排方案共有（　）.

A.120 种　B.360 种　C.720 种　D.1 440 种

【例5】　现将3 名学生安排到4 个实习基地实习，要求每个实习基地安排的学生不超过2 名，则不同的安排方案有（　）.(www.daowen.com)

A.24 种　B.48 种　C.60 种　D.81 种

（1）4 名优秀学生推荐到3 所学校上大学，每所学校至少去一名学生，则不同的推荐方法共有（　）.

A.24 种　B.36 种　C.48 种　D.60 种

（2）将标示为1，2，3，4，5 的5 个球放入标示为1，2，3，4，5 的5 个盒子里，每个盒子只能放一个球，恰好有2 个球的标号与盒子的标号相同，则不同放法共有（　）.

A.6 种　B.12 种　C.18 种　D.20 种

（3）现在有4 个单位面向在校中职生招聘兼职，有3 位同学各准备了一份简历进行投递，则不同的投递方法共有（　）.

A.12 种　B.24 种　C.64 种　D.81 种

【例6】　100 件产品中有5 件次品，从中任取4 件产品，恰好有1 件次品的抽法有（　）种.至少有1 件合格品的抽法有（　）种.

解析：如图所示，被抽样本的总数量是100 件，其中合格品95 件，次品5 件，抽取的样本是4 件，则：

（1）有9 名队员进行乒乓球训练，其中男队员5 名，女队员4 名，如果分组进行混合双打训练，不同的分组方法共有（　）.

A.60 种　B.90 种　C.120 种　D.240 种

（2）某校举行电子竞技比赛，要求每班派4 人参加，其中校队成员最多1 人，高二年级会计班有2 名校队成员和5 名非校队成员都报名参加，则不同的选法共有（　）.

A.20 种　B.25 种　C.30 种　D.40 种

（3）高一年级有5 人、高二年级有4 人报名参加社会实践活动，现从中抽3 人组队，高一年级学生不超过2 人参加，则不同的组队方法有（　）.

A.36 种　B.74 种　C.96 种　D.124 种

四、其他问题

【例7】　李玉、张宁、王玲、陈芳4 人参加学校4×100 接力比赛，李玉不在第一棒，陈芳也不在最后一棒，则不同的安排方法有（　）.

A.6 种　B.14 种　C.24 种　D.32 种

（1）小李、小张两人从4 门课程中各选2 门选修课学习，那么小李、小张所选的课程中至少有一门不相同的选法有（　）.

A.6 种　B.12 种　C.30 种　D.36 种

（2）将甲、乙、丙、丁4 名学生分到3 个实习单位，每个单位至少一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个单位，则不同的分法总数为（　）.

A.18　B.24　C.30　D.36

（3）4 个不同颜色的球放入甲、乙、丙、丁4 个盒子中，则恰好有一个空盒的放法共有（　）.

A.36 种　B.40 种　C.72 种　D.144 种

五、组合的性质应用

知识点或考点

A.11，6　B.11，8　C.10，6　D.10，8

A.2　B.3　C.4　D.2 或4

1.从数字0，1，2，3 中任取3 个不同数字组成三位数，则这样的三位数共有（　）.

A.18 个　B.24 个　C.27 个　D.64 个

2.将6 本书放在一层空书架上，其中指定的2 本书居中放在一起，则不同的放法有（　）.

A.24 种　B.48 种　C.72 种　D.240 种

3.3 位男同学和2 位女同学站成一排一起照相（姿势不算），若2 位女同学不相邻，不同的站法种数共有（　）.

A.120　B.72　C.60　D.24

4.由1，2，3，4，5 这5 个数字组成各位数字不重复的三位数，那么在这些三位数中是5 的倍数的数共有（　）.

A.48 个　B.36 个　C.24 个　D.12 个

5.4 封信投入3 个邮箱中，不同的投递方法有（　）.

A.12 种　B.64 种　C.81 种　D.120 种

6.从1，2，3，4，5，6，7，8，9 这9 个数中任意取出3 个不同的数，其和为偶数，把取出的3个不同的数组成三位数，则不同的三位数的总数为（　）.

A.42　B.44　C.132　D.264

7.若5 个同学排成一排，甲、乙两人相邻的排法有（　）.

A.12 种　B.36 种　C.48 种　D.60 种

8.3 男3 女站一排，姿势不计，3 个男的互不相邻，不同的站法共有（　）.

A.12 种　B.36 种　C.72 种　D.144 种

9.由0，1，2，3，4，5 可以组成多少个大于2 000 且各位数字不重复的四位数？ （　）

A.120　B.240　C.300　D.480

10.某班一天上6 节课，分别是语文、德育、数学、历史、英语、体育，如果体育不能安排在第一节课，数学不能安排在第六节课，那么这天中6 节课不同的安排方案有（　）.

A.120 种　B.240 种　C.480 种　D.504 种

11.班上10 名学生（含李某、王某和张某）参与竞选班长、团支部书记和学习委员，10 人中只能有3 人入选，如果李某和王某至少1 人入选，且张某没有入选，则不同的入选方法总数为（　）.

A.85　B.56　C.49　D.28