12个桃子6个猴子分，每只猴子分得2个桃子；12个桃子4个猴子分，每只猴子分得3个桃子。

像这样平分一定数量的事物，几种平分的方案中，由于份数或者每份分得的量的不同，造成分配结果的不同，我们把此类问题称为盈亏问题。

例题精讲

例1 学生分苹果，若每人4个，则多15个；若每人5个，则少4个。学生、苹果各多少？

【思路分析】两种分配方案所分配的总数相同，分配的学生人数相同，分配结果一个多了15、一个少了4，这两种结果之间相差了19，原因是第二次分配每人得到的比第一次分配每人得到的多了一个，导致结果比第一次少了19个，即可求出人数。

人数：（15＋4）÷（5-4）＝19（人）

苹果数：19×4＋15＝91（个）（或19×5-4＝91（个））

用一个简图来表示两种方案的关系。

其中方案1中的一个“4”代表1个人分了4个苹果，有几个4就有几个人，多出15个苹果用“＋15”来表示；同样的，方案2中数的意义也是如此，少4个苹果用“-4”来表示。

从图中也可对比出，两种方案分配的结果相差15＋4＝19（个），原因是前面若干个4比若干个5少19个，即可求出人数。

（熟练后，可以把代表人的方框去掉。）

例2 学生春游坐车，每车坐40人，有15人没座位；若每车多坐5人，恰好空出一辆车。问：学生和车各有多少？

【思路分析】

该题目的变化在于第二次分配空出一辆车，使得两次分配看起来分配对象的份数不一样，我们知道份数相同才方便计算，那么我们可以利用转化的方式来使得分配份数变得相同。试想如果题目中的车辆去掉一辆，那么，就可以把该题理解为第一次分配每车40人，有55人没有座位（因为我们假设去掉了一辆车）；第二次分配每车45人，刚好坐完。两次分配份数相同，分配后的结果相差55人，这55人就是两次分配每份相差5人所致，便可求出车数。注意，此时求出的车数是我们假设去掉一辆之后的结果，最后要加上这一辆。

车数：（40＋15）÷5＋1＝12（辆）

人数：12×40＋15＝495（人）（或11×45＝495（人））

为了清楚地表示此题的数量关系，我们引入图形表示法。我们用两行数字分别表示两种分配方案，这两种分配方案总人数相同，每个40和45都表示一辆车，第一种方案后面“＋15”是没地方坐的15个人；第二种方案中的“0”表示一辆空车。

可以看出，括号覆盖的40和45的数量相同，对比括号内的40和45，因为每个45比40多了5，所以最后的结果相差40＋15。此图可以清楚地看出（40＋15）÷5＝11所表示的车辆是第二种方案坐人的车，空车的一辆不包含在里面。此图避免了遗漏那一辆空车。

车数：（40＋15）÷5＋1＝12（辆）

人数：12×40＋15＝495（人）

注意：图形可以简单明了地表示题目意思，方便大家寻找题目相关数量关系，画图不要局限于形式，可以是数字、三角形、圆圈等，只要能准确地表达数量变化和相对关系即可。

例3 给小朋友发糖，每人5个，则多1个；若给3人每人4个，其余每人6个，正好发完。小朋友和糖各有多少？

【思路分析】此类题目和例1的区别是第二次分配有3个人分配的数量和其他人不同，解决这3个人分配量不同的问题，就解决了此题目。假如我们把这三人的分配量4补成6，需要借来（6-4）×3＝6（个），那么最后就会差6个，换句话说，我们可以把第二次分配看作每人6个，最后差6个，题目变成第一次分配每人5个则多1个，第二次分配每人6个则少6个。便和例1是同一类型。

（6-4）×3＝6（个）

小朋友的人数：（6＋1）÷（6-5）＝7（个）

糖的总量：7×6-6＝36（个）（或5×7＋1＝36（个））

注意：由此题我们可以看出在盈亏问题中若有部分分配对象的分配量不同于其他人，只需要把他们的分配量改成与其他分配对象相同，并记下更改量之和，把结果的盈亏做相同更改量的变动来保证总量的不变即可。前面补，后面的盈亏就减；前面减，后面的盈亏就加。

例4 小明早上上学，八点钟要上课。出门时速度为每分钟40米，2分钟后，他发现继续这样走下去要迟到2分钟，因此他用每分钟50米的速度继续走，结果比上课时间早3分钟到达。学校离家多远？小明是几点出门的？

【思路分析】盈亏问题在速度路程上的应用，首先，我们要先明确一下速度时间还有路程之间在此题上的关系，路程是被分配的事物，时间（分钟）是分配的对象，第一次分配一分钟40米，第二次分配一分钟50米。我们用图来说明此题的分配关系可以方便大家了解。

两次分配总路程不变，即两行数字之和都是总路程。一个方框表示一分钟，第一次方配中，一个40表示一分钟，第二次分配中，50也表示一分钟。因为不知道具体时间，也就是不知道40或者50的数量，我们用到省略号来表示。虚线表示上课时间，也就是说，虚线前面数字的个数就是小明出门的时间距离上课的时间。由图可见第一次分配虚线后面还有2个40，表示迟到2分钟，即还需要2分钟才能走完全路程；第二次分配因为早到了3分钟，我们用0来表示，不要空着，因为我们要表明还有3分钟，只不过不需要再走而已，一、二次分配迟到和早到表示清楚之后，我们确定，两次分配中省略号省略的数字个数相同。

比较两种方案可看出，除了省略号部分，第一次比第二次多了40×5＝200。是因为一个50比一个40多了10，那么省略号数字的个数就是200÷（50-40）＝20。图中画出括号，以免搞错个数20所代表的分钟数。

40×5＝200

200÷(50-40)＝20

出门到上课的时间：20＋2＋3＝25（分）

出门的时间：8：00-0：25＝7：35（即7点35分）

总路程：25×40＋40＋40＝1080（米）（或20×50＋40＋40＝1080（米））

例5 小红布置联欢会，每人一瓶可乐，准备的可乐缺少10瓶，如果把准备的可乐增加原来数量的一半，则又多出16瓶。问班里有多少人？

【思路分析】两次分配对象数量相同，前后相差10＋16＝26（瓶）水，是多出之前可乐数量的一半，那么之前就有水26×2＝52（瓶）。

人数：（10＋16）×2＋10＝62（人）

例6给小朋友发笔和本子，笔的数量是本子的2倍。每人分7支笔，少6支，本子每人3本，多3本。问：有几个小朋友？笔和本子分别有多少？

【思路分析】在分配对象数量不变的情况下分配两种数量不同的事物，因为被分配的事物总量不同，因为被分配的两种事物的总量是不同的，总量不同就无法直接做比较，此题我们需要做一些变通。首先用图表示一下题目意思：

发现两次分配总量不同而难以下手。在此，注意到本子的分配方案在此写了两遍，目的是为了说明，如果再来相同数量的本子，那么分配情况和前面一样每个人可以得到3本，且最后多出3本。这样就可以不妨设想，如果本子变成原来的两倍，那么每人应该得到6本，而最后也多出6本。2倍本子的数量分配情况变成下图：

笔（本子的2倍）：7　7……7　7　-6

2倍的本子：6　6……6　6　＋6

此时笔和本子的数量相同。则：

人数：（6＋6）÷（7-6）＝12（人）

笔数：12×7-6＝78（支）

本子：12×3＋3＝39（本）（或78÷2＝39（本））

答：12个小朋友，78支笔，39个本子。

注意：把两种数量不同的被分配事物转化成数量相同的事物，就可以当作相同数量下的两种分配方案来做。(www.daowen.com)

例7 有若干个蛋糕和若干瓶饮料。若按一个蛋糕配2瓶饮料分成一组，那么饮料分完时还剩1个蛋糕；若按4个蛋糕7瓶饮料分成一组，蛋糕分完时还剩2瓶饮料。问有几个蛋糕几瓶饮料？

【思路分析】此题目中两次分配，每次分别分配2个不同的量，且分配对象的个数不同。两次分配后的“盈”是两种不同的分配物，并且也难以通过转化倍数关系得到相同数量的分配对象。解决问题的出发点难以找到。图示法的作用在此得以体现，我们来看一下：

特别提示

从第一次分配中我们发现如果去掉一个蛋糕，那么饮料的个数是蛋糕的2倍，因此，在第二次分配中，去掉一个蛋糕，饮料的个数依旧是蛋糕的2倍。

于是有：

第二次分配中去掉一个蛋糕后：

为了保持饮料是蛋糕的2倍，我们再把图做如下变化：即：

不难发现，饮料为蛋糕的2倍时，6是3的2倍，可是7需要多1才是4的2倍，而后面多出的3就可以以1的形式补到7上，使7变成8，3÷1＝3，可得到3可以让3个7变成8。那么最后一个图中7的个数就是3个。那么

饮料有：7×3＋6＋3＝30（瓶）

蛋糕有：3×4＋3＋1＝16（个）

注意：此解法有图才有算式，很多奥数题目的解法中都体现出图形的重要性，图形是必要的解题过程！

关于图示法的转化

我们举例来说明，把一些苹果按照5个一组，最后剩一个，我们可以表示为：

5……5＋1　①

不知道组数，省略号省略的组数也不知道，我们也可以表示为

5……5　5＋1　②

或者5……5　5　5＋1　③

注意：这三种都是可以表示题目含义，只不过三种表示的方法中省略号省略的组数是不同的。

②和③的用途在于转化。比如我们假设去掉2个苹果，那么

②可以表示为5……5　4

③可以表示为5……5　5　4

①中不方便去掉2个苹果，因为①中去掉2个苹果后会变成

5……4

省略号前后的数字必须一致，所以不可取。

省略号省略的个数是未知的，所以省略号除外的个数的多少不影响整体数量，但是如果有两组分配进行比较或者同时出现在一个图的时候，一定要确保上、下两组组数保持一致！

例如：给小朋友发糖，每人5个，则多一个；若给3个人每人4个，1个人5个，其余每人6个，正好发完。图示为：

5　5　5　5　5……5＋1

4　4　4　5　6……6

注意到人数没有改变，第二次分配有3个4，1个5，所以，为了保持省略号省略的个数相同，在第一次分配的时候写出4个5，上下对称，分配对象个数相同。同样的，也可以表示为：

5　5　5　5　5……5　5＋1

4　4　4　5　6……6　6

第二次的写法中省略号省略数量比第一次省略号省略数量少1。两种写法用哪个取决于题目需求，当需要添加或减少某一组的某个数的时候，不能改写省略号紧跟的数字，就需要提前多写一组用来转化。

特别提示

盈亏问题的类型和变化多种多样，在这里建议同学们不要死记公式，有些题目需要我们转化之后才能找到对应关系；盈亏问题的本质是不同方案导致不同结果，分析题目通过变化找到不同方案的区别再结合结果差异方能解题。在遇到复杂变化的盈亏问题时建议大家用图示法，我们用图形表示出题目中不同类事物的不同数量，分组以及分组后两种事物之间的大小关系，在总量不变的前提下把不同分配方案的分配量转化成我们需要的量，然后通过比较找出等量关系并求得解。图示法的优势在于可以清楚地以可见的数字形式表示题目信息，无需重复审题；我们也发现在很多盈亏问题求解的过程中，首先求得的分配对象有些是所有分配对象，有些只是部分分配对象，图示法能清楚地标明了你求出的对象是哪一部分；图示法在转化数量时方法多且不乱，可添可去，添去后结果的补足或减少也可明了地表示出来；图示法还能有效地避免漏数漏组等情况；图示法简单易学，形式自由。（高年级的同学掌握了分数的乘除和方程的应用后，也可以用这两种方法解决盈亏问题，图示法的目的是分析盈亏问题的数量逻辑关系。六年级的小朋友或许也可以发现图示法和方程之间的关系，这个问题就留给你们日后思考啦！）

习题精练

基础题

1 老师给小朋友分草莓，若每人5个草莓，则多出16个；若每人7个草莓，则缺4个草莓。问共有多少小朋友？共有多少草莓？

2 少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中2人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。问共有多少名少先队员？共挖了多少树坑？

3 学校安排学生到会议室听报告。如果每3人坐1条长椅，那么剩下48人没有坐；若每5人坐1条长椅，则刚好空出2条长椅。问听报告的学生有多少人？

提高题

4 钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角。问小明带了多少钱？

5 幼儿园将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的小朋友每人5个则余10个；如果分给小班的小朋友每人8个则缺2个。已知大班比小班多3个小朋友，问这筐苹果共有多少个？

6 有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加1条船，正好每条船坐6人；如果减少1条船，正好每条船坐9个人。问：这个班共有多少名同学？

7 张宇上午7时20分从家里出发到校上课。如果每分钟走50步，离上课还有7分钟；如果每分钟走35步，就要迟到5分钟。求学校的上课时间。

压轴题

8 用绳测井深，把绳3折，井外余2米，把绳4折，还差1米不到井口，那么井深多少米？绳长多少米？

9 有两根同样长的绳子，第一根平均剪成5段，第二根平均剪成7段，第一根剪成的每段比第二根剪成的每段长2米。原来每根绳子长多少米？

10 苹果和梨各有若干个。如果5个苹果和3个梨装一袋，苹果还多4个，梨恰好装完；如果7个苹果和3个梨装一袋，苹果恰好装完，梨还多12个。那么苹果和梨共有多少个？