我们先了解一下关于速度和与速度差的由来。

（一）速度和

如图1，甲、乙分别从A，B两地同时出发相向而行，之后相遇。

图1

因为：甲的路程＋乙的路程＝路程和（A，B两地的距离），即

甲的速度×相遇时间＋乙的速度×相遇时间＝路程和。

由乘法分配律，我们可以提取公因数“相遇时间”，于是变为：

（甲的速度＋乙的速度）×相遇时间＝路程和，

即速度和×相遇时间＝路程和。

（二）速度差

如图2，甲、乙分别从A，B两地同时出发，同向而行，乙在前，经过一段时间后甲追上乙。

图2

因为：甲的路程-乙的路程＝路程差（A，B两地的距离），即

甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间＝路程差。

由乘法分配律，我们可以提取公因数“追及时间”，于是变为：

（甲的速度-乙的速度）×追及时间＝路程差，

即速度差×追及时间＝路程差。

速度差和路程差的运用不一定是在同一直线上的同向运动，只要有速度差，有共同行走的时间，就有路程差，是一个比较的过程。比如，小明和小红分别从各自家里去学校，小明每分钟比小红多走50米，那么10分钟小明比小红多走的路程就是：50×10＝500（米），跟小明和小红行走的路线并没有关系。如果在同一路线上，且小红在小明前面500米，小明要追上小红，意味着小明要比小红多走500米，因为1分钟小明比小红多走50米，那么10分钟就可以多走500米，所以小明10分钟追上小红。而小明与小红各自走的路程是他们各自的速度乘以时间来计算得出的。

例题精讲

例1 甲、乙分别以每分钟65米和每分钟55米的速度，分别从A，B两地出发，相向而行，A，B两地相距3000米，多久后，两人相距600米？

【思路分析】本题要求时间，在相向而行的问题中，需要知道路程和速度和，我们通过相距600米来确定两人共走了多远。发现题目有两种情况：在相遇之前有一次相距600米；在相遇之后，两人背向继续走时，还会出现相距600米的情况。如图：

情况一：两人未相遇时，两人共走的路程为3000-600＝2400（米），速度和为65＋55＝120（米/分），时间为2400÷120＝20（分）。

情况二：两人相遇后又相距600米，重叠部分为600米，两人行走的总路程为3000＋600＝3600（米），时间为3600÷120＝30（分）。

（我们也可把情况二分成两部分，第一部分是两人先相遇，路程和为3000米；第二部分为相遇后再分开，从同一个地点背向而行，直到相距600米，路程和为600米。那么，两部分的路程之和为3600米。）

特别提示

在情况二中，画图时我们把甲、乙两人走的路程稍微错开一些，就好像我们路上行车靠右一样，这样画图不会影响甲、乙走的路程，只为了方便观察。如果甲、乙行走的路线画在同一条直线上，会出现线与线的重叠，影响做题。

例2 甲、乙同时出发同向而行，乙在甲前面300米，甲、乙的速度分别为每秒5米和每秒3米，甲追到还剩100米时，过了多久？

【思路分析】甲从落后300米到落后100米，甲比乙多走200米，那么时间为200÷（5-3）＝100（秒）。

此题不难理解，通过此题我们来熟悉一下行程问题的图，如图：

首先，做图时甲、乙行走路程的线段要错开画，从图中我们可以看出，除去相等的部分，甲比乙多出的距离为300-100＝200（米），也就是甲比乙多走的距离，即追及距离，也就是路程差。结合实际，从落后300米，追到剩100米，说明追了200米，熟悉过程后可以不做图。同样，我们可以通过追及时间来求出甲、乙各自走的路程，乙走的路程为3×100＝300（米），甲走的路程为5×100＝500（米）。(www.daowen.com)

例3 一条直线的马路，马路上有A，B两地，A，B两地相距200米，甲、乙分别从A，B出发，沿着马路行驶，速度分别为每秒3米和每秒2米，多久后，两人相距100米？

【思路分析】甲、乙出发时的方向没确定，因此分情况讨论如下：

甲、乙相向而行时：①若没有相遇，甲、乙行走路程之和为200-100＝100（米），时间为100÷（3＋2）＝20（秒）；②若相遇之后又错开100米，甲、乙行走路程之和为200＋100＝300（米），时间为300÷（3＋2）＝60（秒）。

甲、乙同向而行时：如果甲在前，乙在甲后面200米，那么甲与乙的距离会比200米越来越多，舍去这个情况；如果乙在前，甲在乙后面200米，相当于追及问题。甲比乙快，甲、乙的距离会越来越小，从200米逐渐缩小，追上后，甲在乙前面，两人之间距离再会越来越大。所以有两种情况：①未追上时，甲、乙的距离从200米缩小到100米，甲比乙多走的距离为200-100＝100（米），时间为100÷（3-2）＝100（秒）；②甲追上乙后，再超过乙100米，甲比乙多走的距离为200＋100＝300（米），时间为300÷（3-2）＝300（秒）。

甲、乙背向而行时：甲、乙的距离会越来越大，不用计算。

因此，经过20秒、60秒、100秒或300秒后甲、乙相距100米。

例4 甲、乙两人分别从A，B两地同时出发相向而行，速度分别为每秒5米和每秒3米，相遇时距离A，B两地中点200米，A，B两地相距多少米？

【思路分析】中点把路程分成相等的两段，以此可以求出甲比乙多走的路程。很多同学觉得甲比乙多走200米，我们通过做图来看一下是否正确。

如图：

把甲、乙所走的路程分开画之后发现，一个比一半多200，另一个比一半少200，所以甲比乙多走的路程为200＋200＝400（米）。在相同的时间内，甲比乙多走400米，1秒钟甲比乙多走的路程为5-3＝2（米），所以甲比乙多走400米所用的时间为400÷2＝200（秒）。甲、乙用了200秒相遇，那么总路程为（5＋3）×200＝1600（米）。

习题精练

基础题

1 甲、乙两车从相距300千米的两地相向而行，甲的速度为每小时72千米，乙的速度为每小时60千米，在甲、乙相遇前的2分钟，甲、乙相距多少千米？

2 一条直线的马路，马路上有A，B两地，A，B两地相距200米，甲、乙分别从A，B出发，沿着马路行驶，速度分别为每秒3米和每秒2米，多久后，两人相距300米？

3 甲、乙两人分别从A，B两地出发相向而行，速度分别为每秒6米和每秒4米，甲早一秒出发，他们在距离两地中点20米处相遇，A，B两地相距多少米？

4 小明晨跑跑了480米，前一半时间每秒跑10米，后一半时间每秒跑6米，小明多久跑完全程？小明跑到全程的一半时，用了多久？

5 甲、乙两人分别从相距600米的A，B两地同时出发，相向而行。第一次走，甲、乙的速度分别为每分钟30米和每分钟20米，甲、乙相遇后停止前进。第二次走时，甲的速度提高，乙的速度不变，相遇时，乙走的路程比第一次少了40米。第二次甲的速度提高了多少？

6 甲、乙两人分别从相距2000米的A，B两地出发，同向而行，走了8分钟后，两人距离B地的距离相等，走了25分钟后，甲追上了乙，甲、乙速度各是多少？

d

7 甲、乙两人从相距30千米的A，B两地出发，同向而行，甲追上乙要3小时；相向而行，相遇要1小时。甲、乙速度各是多少？

8 甲、乙两人分别以每小时60千米、每小时20千米的速度从A地驶向B地，A，B两地距离为600千米，甲到B后立即返回，甲与乙相遇时，距离A地多远？

9 甲、乙两人从A，B两地相向而行，2小时后相距80千米；3小时后，又相距80千米。A，B两地相距多少千米？

10 小明和小红同时从各自家中出发，走向对方家，两家相距1800米，小明、小红的速度分别为每分钟60米和每分钟40米。小明出发时，他养的狗狗也出发跑向小红，狗狗跑得快，见到小红后立即折回去找小明，之后继续在小明、小红之间往返跑，狗狗的速度为每分钟100米，小明见到小红时，狗狗跑了多少米？

11 甲、乙两人从同一地点骑车，甲先走20米，乙用4秒可以追上甲；甲先走4秒后，乙用8秒可以追上甲，甲、乙速度各是多少？

12 甲、乙两人走同样一段路，甲、乙速度分别为每分钟60米、每分钟50米，乙比甲多用3分钟，这段路多长？

压轴题

13 甲、乙两人分别住在学校的东、西两侧，两家相距1680米，甲、乙的速度分别为每分钟72米和每分钟60米，如果上学时乙早出发6分钟，就能与甲同时到校，甲的家距离学校多少米？

14 甲、乙两人从同一起点开始跑步，同时、同向而行，甲的速度是每秒7米，乙第1秒跑2米，第2秒跑3米，第3秒跑4米……，何时乙可以追上甲？

15 甲、乙两人分别以每小时60千米和每小时20千米的速度从A地驶向B地，A，B两地距离为600千米，甲到B后休息了2小时返回，甲与乙相遇时，距离A地多远？