在学习过加减法中数字的变化之后，我们来学习乘除法中数字的变化。

首先，同学们要明确一点，有变化，就有原来和现在。比如2×3＝6，4×3＝12，第一个乘数2扩大2倍，乘积扩大2倍，是一个比较的过程，比较的是变化前与变化后的两种情况。

（一）乘法算式中数字的变化

1.①1个乘数以倍数扩大（扩倍）或者缩小，乘积如何变化？

根据等式的性质我们知道，等式左边或者右边同时乘以或者除以一个不为0的数，等式仍成立。

例如：7×5＝35。

7如果扩大3倍，5不变，那么等式左边变成（7×3）×5。

根据乘法结合律有：7×3×5＝（7×5）×3，相当于等式左边乘以3，若想保证等式仍成立，等式右边也要乘以3，即（7×5）×3＝35×3，乘积扩大3倍。

因为乘除法没有先后顺序，换做缩小几倍也一样：

7如果缩小3倍，5不变，那么等式左边变成（7÷3）×5，即7÷3×5＝（7×5）÷3，相当于等式左边除以3，若想保证等式仍成立，等式右边也要除以3，即（7×5）÷3＝35÷3，乘积缩小3倍。

一个乘数不变，另一个乘数与乘积同时扩大或者缩小相同的倍数。

②如果2个乘数同时变化，乘积如何变化？

例如，一个乘数扩大6倍，另一个乘数缩小3倍，在乘法算式A×B＝C中，有：

A×6×B÷3＝A×B×6÷3＝A×B×2，等式左边扩大2倍，右边也扩大2倍，即A×6×B÷3＝C×2，乘积C也扩大2倍。

在乘法算式A×B＝C中，A，B两个乘数扩大或缩小造成等式左边整体扩大或缩小，左边整体扩大或者缩小多少倍，乘积C也扩大或者缩小多少倍。

③乘积不变时，两个乘数如何变化？

在乘法算式A×B＝C中，乘积C不变，如果A要扩大3倍，为了保证等式左边不变，我们的等式变为（A×3）÷3×B＝C，即（A×3）×（B÷3）＝C，B缩小了3倍。

在乘法算式A×B＝C中，乘积C不变，等式左边整体的大小就不会变，那么，如果A乘以一个数，等式左边会扩大，为了保证等式左边不变，B就要除以这个数，也就是A扩大的倍数就是B缩小的倍数。

乘积不变时，一个乘数扩大多少倍，另一个乘数就缩小多少倍。

2.1个乘数变大或者变小，乘积怎么变化？

对于算式7×9＝63，根据乘法的意义，可以理解为7个9或者9个7。

如果9增加2，等式左边由9个7，变成（9＋2）个7，增加了2个7；

如果9减少3，等式左边由9个7，变成（9-3）个7，减少了3个7。

由此可以看出，一个乘数增加或减少某个数，乘积就会增加或减少“某个数×另外一个乘数”。

（二）除法算式中数字的变化

1.没有余数的除法

由于除法是乘法的逆运算，我们可以把除法算式转化成乘法算式，去理解数字的变化规律。

因为被除数÷除数＝商，变化后得到除数×商＝被除数，所以有：

除数不变时，商与被除数同时扩大或缩小相同的倍数；

商不变时，除数与被除数同时扩大或缩小相同的倍数；

被除数不变时，除数扩大或缩小多少倍，商就缩小或者扩大多少倍；

被除数不变时，商扩大或缩小多少倍，除数就缩小或者扩大多少倍。

（从除法的意义考虑，一些东西平分给一些人，每人得到的东西数量相同。从这个角度也可以得到相同的结论，同学们可以自己尝试分析。）

2.有余数的除法

有余数的除法中，一般情况下除数不会改变，因为在被除数不变的情况下除数的改变都会同时引起商和余数的变化，情况过于复杂，所以我们在此不做除数改变的问题分析。

在小学范围内，通常情况下我们需要了解被除数扩倍时，除法算式中其他数字的变化。

除数不变时，被除数÷除数＝商……余数，变化后得到：除数×商＋余数＝被除数，则等式左边为“除数×商＋余数”，等式右边为被除数。当被除数扩大一个倍数时，等式右边扩大这个倍数，那么等式左边也要扩大这个倍数，即“除数×商＋余数”这个整体会扩大，根据乘法分配律，“除数×商”的乘积会扩大这个倍数，余数会扩大这个倍数。“除数×商”的乘积扩大这个倍数，其中除数不变，所以商扩大了这个倍数。

举例说明：

第一例：13÷3＝4……1，被除数扩大2倍时，变为26÷3＝8……2，商和余数也扩大2倍。

第二例：15÷4＝3……3，被除数扩大2倍时，变为30÷4＝7……2，我们发现商并不是扩了2倍，余数也不是。我们按照刚才的扩倍原则，扩大2倍后直接写成30÷4＝6……6，根据除法意义，可以理解为30里面有6个4，还余6。6÷4＝1……2，这个余数中其实还有1个4，然后余2，这样就可以把商加上1，6＋1＝7。30里面一共有7个4，余数为2，与30÷4＝7……2的情况相同。

于是，我们知道，被除数扩倍引起余数的扩倍，余数扩倍之后如果比除数大，减掉余数里所有的除数，有几个减几个，商相应地增大几个，减掉后剩下的余数为扩倍后新的余数。

有余数的除法中，数字的变化规律根据题意尝试、分析，多留意余数变化后是否比除数小。如果忘记推导过程，做题时一定要列举几个符合题意的算式，从这些算式中寻找变化的规律！

提示：乘除法中数字的变化是由等式的性质得出的。灵活运用等式的性质，结合列举的算式，分析推导过程，熟背概念不一定可以在做题时用得上！

例题精讲

例1 乘法算式中，一个乘数不变，乘积缩小3倍，另一个乘数怎么变化？

【思路分析】

举例，6×9＝54。

乘积缩小3倍，54÷3＝18，6不变时等式变为6×（　　）＝18。

括号内的数为18÷6＝3。

另外一个乘数从9变为3，缩小的倍数为9÷3＝3。

等式的性质解题，一个乘数×另一个乘数＝乘积。

乘积缩小3倍，等式的右边除以3，为保持等式仍成立，左边也要除以3。那么，一个乘数×另一个乘数÷3＝乘积÷3。

因为一个乘数不变，于是有：一个乘数×（另一个乘数÷3）＝乘积÷3，即另一个乘数缩小3倍。

例2 乘法算式中，一个乘数缩小3倍，乘积扩大9倍，另一个乘数怎么变化？

【思路分析】

举例，9×4＝36。

变化后，有：9÷3×（4____）＝36×9。

计算后，括号内应填“4×27”，另一个乘数扩大27倍。

等式的性质解题，一个乘数×另一个乘数＝乘积。

变化后，有：一个乘数÷3×（另一个乘数_____）＝乘积×9。

为了保证等式仍然成立，等式的左边除以3，那么左边再乘以3；右边乘以9，左边也乘以9。

因此，括号内应填“另一个乘数×3×9”，3×9＝27，即另一个乘数扩大27倍。

例3 乘法算式中，一个乘数增加了4，乘积增加了28，另一个乘数是多少？

【思路分析】A×B＝C。

变化后，有：（A＋4）×B＝C＋28。

根据乘法分配律，等式左边去括号后，有：A×B＋4×B＝C＋28。(www.daowen.com)

因此，4×B＝28，B为28÷4＝7，另一个乘数是7。

例4 乘法算式中，一个乘数扩大2倍，乘积缩小3倍，另一个乘数减少了10，另一个乘数原来是多少？

【思路分析】一个乘数×另一个乘数＝乘积。

若要满足“一个乘数扩大了2倍，乘积缩小3倍”，则有一个乘数×2×另一个乘数÷6＝乘积÷3，即另外一个乘数应该除以6。

另外一个乘数除以6，与另外一个乘数减少10，结果相同。相当于，另外一个乘数原来是6份，现在是1份，6份比1份多10。

因此，1份为10÷（6-1）＝2，另一个乘数原来是2×6＝12。

例5 除法算式中，商缩小3倍，除数不变，被除数怎么变化？

【思路分析】

举例，63÷7＝9。

商缩小3倍后变为9÷3＝3。

变化后等式为（　）÷7＝3，括号里的数为3×7＝21。63÷21＝3，即被除数缩小3倍。

除数×商＝被除数。

商缩小3倍，等式左边除以3，为了保持等式仍成立，等式右边也要除以3。

变化后，有：除数×商÷3＝被除数÷3。即被除数缩小3倍。

例6 除法算式中，被除数扩大6倍，商扩大2倍，除数增加了18，原来的除数是多少？

【思路分析】除数×商＝被除数。

变化后，有：（除数______）×（商×2）＝被除数×6。

等式右边乘以6，为了保持等式仍成立，左边也乘以6，6÷2＝3。

因此，括号内应填“除数×3”，即除数扩大3倍。

除数扩大3倍，与除数增加18相等。除数从1份变为3份，3份比1份多18，1份为18÷（3-1）＝9，即除数为9。

例7 除法算式中，除数是6，余数是1，被除数扩大3倍后，商怎么变化？余数怎么变化？

【思路分析】

举例，19÷6＝3……1。

被除数扩大3倍后，除法算式变为：57÷6＝9……3。

9÷3＝3，3÷1＝3，商和余数都扩大了3倍。

等式的性质解题，6×商＋1＝被除数。

被除数扩大3倍，等式的右边乘以3，为了保持等式仍成立，等式的左边也乘以3，有：（6×商＋1）×3＝被除数×3。

根据乘法分配律去括号，得：6×商×3＋1×3＝被除数×3。即6×（商×3）＋1×3＝被除数×3。可以看出，商扩大3倍，余数扩大3倍。

例8 3人6天完成了一项工作，下一项工作的工作量是已完成工作工作量的3倍，那么下一项工作几天可以完成？

【思路分析】

1人1天做1份工作，3人6天可做的工作量为3×6＝18。

下一项工作的工作量为18×3＝54。

下一项工作的天数为54÷3＝18，即18天。

3人×6天＝一项工作。

3人×（6___）天＝一项工作×3。

等式的右边乘以3，为了保持等式仍成立，等式的左边也乘以3，6×3＝18，即18天。

习题精练

基础题

1 乘法算式中，一个乘数不变，另一个乘数扩大5倍，乘积怎么变化？

2 乘法算式中，乘积不变，一个乘数扩大3倍，另一个乘数怎么变化？

3 乘法算式中，一个乘数扩大6倍，另一个乘数缩小2倍，乘积怎么变化？

4 乘法算式中，一个乘数扩大3倍，乘积扩大12倍，另一个乘数怎么变化？

5 乘法算式中，乘积缩小3倍，一个乘数扩大2倍，另一个乘数怎么变化？

6 乘法算式中，一个乘数是7，另一个乘数增加了2，乘积怎么变化？

7 乘法算式中，一个乘数是11，乘积增加了22，另一个乘数怎么变化？

8 乘法算式中，一个乘数是8，另一个乘数扩大2倍，乘积增加了24，原来的乘积是多少？

9 乘法算式中，一个乘数是8，另一个乘数增加了3，乘积扩大3倍，原来的乘积是多少？

10 乘法算式中，一个乘数扩大2倍，乘积扩大4倍，另一个乘数增加了12，另一个乘数原来是多少？

11 除法算式中，被除数不变，商扩大5倍，除数怎么变化？

提高题

12 除法算式中，除数扩大5倍，商不变，被除数怎么变化？

13 除法算式中，商缩小3倍，除数缩小3倍，被除数怎么变化？

14 除法算式中，除数扩大2倍，被除数扩大6倍，商怎么变化？

15 除法算式中，除数是6，被除数增加了18，商是怎么变化？

16 除法算式中，除数增加了2，商是3，被除数怎么变化？

17 除法算式中，除数是8，余数是2，被除数扩大3倍后，商怎么变化？余数怎么变化？

18 除法算式中，除数是7，余数是5，被除数扩大2倍后，商怎么变化？余数怎么变化？

19 小明每天吃的草莓是小红每天吃的2倍，小明吃的天数是小红的3倍，小明总共吃的是小红的几倍？

20 4人6天完成一项工程，同样的工程，6个人几天完成？

21 6人5天完成了甲项目，乙项目是甲项目工作量的2倍，若完成乙项目只有3个人，乙项目需要几天？

压轴题

22 甲队有6人，每人每天工作4小时；乙队有2人，每人每天工作6小时。甲、乙两队要完成一项工作量相同的任务，乙队需要的天数比甲队需要的天数多7天，甲队要几天可以完成？

23 第二个长方形的长和宽分别是第一个长方形长和宽的2倍，第二个长方形的周长是第一个长方形周长的几倍？

24 小明写一些字，计划12分钟写完。如果每分钟多写20个字，6分钟就可以写完，这些字共有多少？