三年级我们学过简单的份数问题，也学习了用线段图解题的方法，本专题我们来学习综合型的和差倍问题。

例题精讲

例1 两根同样长的丝线，分别用去了56厘米和26厘米，剩下的长度，一根是另外一根的3倍，丝线原来多长？

【思路分析】同样长度的丝线，用的多剩的少，剩下的丝线长度差为：56-26＝30（厘米）。

长的是短的3倍，理解为长的是3份，短的是1份，多的份数为：3-1＝2。

那么，短的1份就是30÷2＝15（厘米）。

原来长度为15＋56＝71（厘米）。

例2 甲原有的钱是乙的4倍，后来甲给了乙48元，乙的钱变成了甲的4倍，甲、乙原来各有多少钱？

【思路分析】甲给乙钱，他们的总数不变，原来甲是乙的4倍，当作甲是4份，乙是1份，总共5份。现在乙是甲的4倍，同样还是5份。总的份数没有变，两种情况中“1份”的大小就没有变。

甲从4份变成1份，少的份数为4-1＝3。

那么，1份为48÷3＝16（元）。

乙原来有16元，甲原来有16＋48＝64（元）。

例3 一个数，末尾加了一个0，结果比原来大了657，这个数是多少？

【思路分析】末尾加0相当于乘以10，变成10倍。

原来是1份，现在是10份，多的份数为10-1＝9。

1份为657÷9＝73。

这个数是73。

例4 一个两位数，如果把个位数字扩大3倍，这个数变为48，如果把个位数字扩大7倍，这个数变为72，这个数是多少？

【思路分析】十位数字没有变，72-48＝24，相差24是因为个位数字7倍与3倍的差。

个位数字为24÷（7-3）＝6。

48-6×3＝30，十位数字是3。

这个数是36。

例5 小明和小红拿着相同的钱去买圆珠笔，小明借了小红12元后，小明买了15支笔，小红只买了7支，一支笔多少钱？

【思路分析】小明借了小红12元，小明比原来多12元，小红比原来少12元，此时小明比小红多的钱为12＋12＝24（元）。

小明比小红多买的笔的数量为15-7＝8（支）。

因此，1支笔的价钱为24÷8＝3（元）。

例6 有两个数，和是75，其中一个数乘以2，另外一个数乘以5，和变成了249，原来这两个数各是多少？

【思路分析】我们用A，B来表示这两个数，那么A＋B＝75。

一个A加一个B是75，那么两个A加两个B就是75＋75＝150，得到：A＋A＋B＋B＝150。（写出这个等式是因为题目中有“一个数乘以2”这个信息，这样A都乘以2，B的倍数不一样，总和不一样，就可以通过比较求出B。）

根据题意得到第二个等式：A＋A＋B＋B＋B＋B＋B＝249。

可以看出，249比150多，是因为下面的等式比上面的等式多了3个B，所以B：（249-150）÷（5-2）＝33，A：75-33＝42。

例7 甲、乙共有草莓88个，甲吃了12个之后，乙的草莓比甲的2倍还多4，甲、乙原来各有多少草莓？

【思路分析】甲吃了12个后，总数变为88-12＝76。

把现在的甲当成1份，乙就是2份再加4，甲、乙总共3份再加4，和为76，所以1份为（76-4）÷（1＋2）＝24，现在甲有24个。(www.daowen.com)

原来甲为24＋12＝36（个），乙为88-36＝52（个）。

例8 甲给了乙19元钱后，乙的钱比甲的3倍还多3元，已知甲原来比乙多7元，甲、乙原来各有多少钱？

【思路分析】甲比乙原来多7元，现在甲给乙11元，那么乙的钱比甲多19-7＋19＝31（元）。

把现在的甲当成1份，现在的乙就是3份再加3，所以1份为（31-3）÷（3-1）＝14，现在的甲是14元。原来的甲为14＋19＝33（元），乙为33-7＝26（元）。

例9 一个除法算式中，商是11，余数是7，被除数、除数、商以及余数的和是301，这个除法算式是什么？

【思路分析】被除数＝除数×商＋余数，此题中，被除数＝除数×11＋7。

那么，被除数＋除数＋商＋余数＝301，就可以表示成：

除数×11＋7＋除数＋11＋7＝301，即：除数×12＋25＝301。

除数＝（301-25）÷12＝23。

被除数＝23×11＋7＝260。

这个除法算式为260÷23＝11……7。

例10有不同的4个数，它们的和是54，如果第一个数乘以2、第二个数除以2、第三个数加2、第四个数减2，那么四个数就相同了，这四个数原来是多少？

【思路分析】我们做线段图或者用份数去表示题目未知量的时候，一般会统一一个“单位1”，就是1份。此题中4个数各不相同，在变化之后相同了，那么我们就把它们变化后变相同的那个数当作1份。

还原后，第一个数为半份、第二个数为2份、第三个数为1份减2、第四个数为1份加2。

4个数的和为：半份＋2份＋1份-2＋1份＋2，总计4份半，总计54。

1份里面有2个半份，所以4份半就是9个半份（4×2＋1＝9）。

半份：54÷9＝6，1份：6×2＝12。

第一个数：12÷2＝6；第二个数：12×2＝24；第三个数：12-2＝10；第四个数：12＋2＝14。

习题精练

基础题

1 小明、小红、小强各有一些玻璃球，小明说，我的玻璃球是比小红的2倍还多6个；小红说，我和小明加起来是小强的一半；小强说，我的玻璃是小红的7倍。三人各有多少玻璃球？

2 把一个三位数末尾的0去掉后，变成两位数，这个两位数比三位数少144，这个三位数是多少？

3 小明和小强有同样多的卡片，小明玩游戏赢了小强12张后，小明的卡片数量是小强的5倍，原来他们有多少卡片？

4 有不同的三个数，它们的和是75，如果第一个数乘以3、第二个数除以3、第三个数加3，这样的话三个数就相同了，这三个数原来是多少？

提高题

5 原来小明糖果的数量是小红的3倍，后来小明买了24个糖果，小红买了42个糖果，这时两人的糖果一样多，原来小明、小红各有多少个糖果？

6 有大、中、小三个数，大数比小数的3倍还大5，中数比小数的2倍小4，小数乘以2加上中数，正好等于大数，大、中、小三个数各是多少？

7 甲、乙两人有一些饼干。如果乙的饼干变成原来的4倍，甲、乙的饼干共有57块；如果乙的饼干变成自己的7倍，甲、乙的饼干共有93块。甲、乙原来各有多少饼干？

压轴题

8 A，B两个数，A是B的3倍，如果A减少54，B增加54，B将变成A的3倍，A，B原来各是多少？

9 弟弟和哥哥一共有60元，后来爸爸又给了弟弟11元，现在哥哥的钱比弟弟的3倍还多7元，弟弟、哥哥原来各有多少元？

10 两个加数相加，和为87，结果用计算器计算时，不小心在一个加数后多按了一个0，这样和变成了204，这两个加数各是多少？