一、等差数列

依次变大或变小的一列数，相邻的两个数之间的差都相等，这样的数列我们称为等差数列。

例如：1，2，3，4，5，6…

3，5，7，9，11…

30，27，24，21，18…

二、等差数列中的首项、末项、公差、项数

等差数列中有首项、末项、公差、项数，它们之间有什么联系和作用，我们举例一一说明。

例如：数列3，5，7，9，11，13，15，17，19，21。

项数是指数列中数的个数，这个数列中一共有10个数，这个数列的项数为10。

首项是指第1个数，这个数列中，首项是3。

末项是指最后一个数，这个数列中，末项是21。

第一项是指第1个数，也叫首项；第2项是指第2个数，第3项是指第3个数，依次类推；这个数列中第10项是最后一项，也叫末项。

公差是指这个数列从第2项起，每一项与前一项的差。（通俗来讲就是后面的数减前面的数。）

等差数列的和是指这个数列所有数字的和。

如图：

两项之间的差：我们之前学过间隔问题，发现这个数列中，每两个数之间有一个间隔，而这个间隔就相当于1个公差。我们看到，从第4项到第7项，要数3个数（7-4＝3），每数1个数，就有1个间隔，1个间隔就是一个公差，数3个数，3个间隔，3个公差，所以第4项和第7项相差3个公差。由此我们知道：任意两项之间的差＝两项序号的差×公差。

例如：第7项与第4项的差＝（7-4）×2。

（等差数列中包含很多排队与间隔问题的运用，排队、间隔问题可以从3年级的书上复习。）

同样的，通过间隔数，也可以得到项数的多少。例如：数列3，5，7…19，21。如果我们不知道中间有多少个数，可以通过首项和末项来求，首项末项相差21-3＝18，公差是2，18÷2＝9，相差9个公差，相当于9个间隔，9个间隔，10个数（9＋1＝10），所以这个数列总共有10项，10个数。

三、求等差数列的和

例如：数列3，5，7，9，11，13，15，17，19，21。

如果我们倒着写一遍，变成21，19，17，15，13，11，9，7，5，3。

第二个数列变成了依次减小2的数列，且与第一个数列项数相同。

如图：

我们发现，这两排数，都是10个数字，两排第1个数数字之和为3＋21＝24，两排第2个数数字之和为5＋19＝24，与两排第1个数数字之和相等。原因是这两个等差数列中，一个逐渐加2，一个逐渐减2，5比3多2，19比21正好小2，作和后还是相等，之后每列依次类推，所以每列上下2个数字之和都是24，一共10列，那么这两个数列所有数字的总和就是（3＋21）×10＝240，所以一个数列的数字之和为240÷2＝120。

由此我们得到：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2。

注意：公式不要死记硬背，一定要记住公式的推导，等差数列中各个元素之间的关系非常明确，在忘记公式之后，一定要自己推导。

例题精讲

例1 有一个等差数列7，11，15，19…，第12项是多少？

【思路分析】公差为11-7＝4，第12项与第1项之间的间隔数为12-1＝11，11个间隔相当于相差11个公差，第12项比第1项多11×4＝44，第12项为7＋44＝51。

例2 在一个等差数列中，第5项是27，第11项是45，公差是多少？

【思路分析】第11项比第5项大45-27＝18，第11项和第5项的间隔为11-5＝6，6个间隔相当于相差6个公差，所以公差18÷6＝3。

例3 在一个等差数列中，第2项是9，第5项是21，第8项是多少？

【思路分析】

第5项比第2项多的公差数为5-2＝3，公差为（21-9）÷3＝4，第8项与第5项相差的公差数为8-5＝3，第8项为21＋4×3＝33。

因为8-5＝5-2，第8项与第5项相差的公差数等于第5项与第2项相差的公差数，所以第8项与第5项的差等于第5项与第2项的差，第8项为21＋（21-9）＝33。

例4 有一个等差数列，第4项是17，公差是6，第9项是多少？(www.daowen.com)

【思路分析】第9项与第4项之间的间隔数为9-4＝5，即公差数为5，所以第9项与第4项相差5×6＝30，第9项为17＋30＝47。

例5 有一个等差数列93，90，87，84…，第11项是多少？

【思路分析】我们发现，在求公差时，90-93“减不动”，因为我们还没有学过负数，但是不影响我们做题目。此数列的数从93开始，依次减3，第11项与第1项的间隔数是11-1＝10，10个间隔，就减去10个3，所以第11项是93-3×10＝63。

例6 有一个等差数列9，13，17，21…53，这个数列的和是多少？

【思路分析】公差为13-9＝4，9与53之间的间隔数为（53-9）÷4＝11，11个间隔，项数为11＋1＝12，数列和为（9＋53）×12÷2＝372。

例7 有一个等差数列，第1项是9，最后一项是141，这个数列的和是900，公差是多少？

【思路分析】等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2。

900＝（9＋141）×项数÷2，150×项数÷2＝900，150×项数＝1800，项数＝12。

数列共12项，末项与首项的间隔为12-1＝11，11个间隔相差11个公差，公差为（141-9）÷11＝12。

例8 有一个等差数列11，17，23，29…，这个数列共有10项，后5项的和比前5项的和多多少？

【思路分析】公差：17-11＝6；第10项：11＋6×（10-1）＝65；第6项：11＋（6-1）×6＝41；第5项：41-6＝35。

把前5项和后5项分别当作等差数列，求和，再作差。

前5项的和：（11＋35）×5÷2＝115。

后5项的和：（41＋65）×5÷2＝265。

因此，后5项的和比前5项的和多265-115＝150。

6-1＝5，第6项比第1项大5个公差，5×6＝30，第6项比第1项多30；

7-2＝5，第7项比第2项大5个公差，第7项比第2项多30；

……

10-5＝5，第10项比第5项大5个公差，第10项比第5项多30。

（6，7，8，9，10分别比1，2，3，4，5大5，同样5项，两个5项中的项的序号都依次增加1，6-1＝5，因此后5项中的每一项，依次分别比前5项的每一项多5个公差，即5×6＝30。）

因此，后5项的和比前5项的和多30×5＝150。

习题精练

基础题

1 有一个等差数列9，17，25，33…，第9项是多少？

2 有一个等差数列，第1项是12，最后一项是84，公差是8，项数是多少？

3 在一个等差数列中，第5项和第9项相差28，第14项是86，第11项是多少？

4 有一个等差数列5，8，11，14…41，第9项是多少？这个数列的和是多少？

提高题

5 有一个公差为5的等差数列，第7项是63，最后一项是118，这个数列的和是多少？

6 有一个等差数列，第1项是7，最后一项是95，这个数列的和是612，公差是多少？

7有一个等差数列，第6项是37，第11项是62，最后一项是92，这个数列的和是多少？

压轴题

8 有一个等差数列，第1项是11，第12项是最后一项，第12项是77，这个数列中前6项的和比后6项的和少多少？

9 一个等差数列有8项，前4项的和比后4项的和少48，首项是7，第7项是多少？

10 一个等差数列有9项，前5项的和比后5项的和少80，首项是7，第7项是多少？