随着信息技术的出现及飞速发展，数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具；同时数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。

1．简单数学模型

学生在前一个学段已经接触或经历过一些简单的数学模型，如“速度-路程”模型。

例　甲、乙两地相距750 km，船从甲到乙顺水航行需30 h，从乙到甲逆水航行需50 h，问船的速度是多少？

用x表示船速，y表示水速，列出方程组：

解得x＝20 km／h，y＝5 km／h。答：船速20 km／h。

“速度-路程”模型建立的基本步骤：做出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示有关量（x，y表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程组）；求解得到数学解答（x＝20 km／h，y＝5 km／h）；回答原问题（船速20 km／h）。

2．数学建模举例——分油问题

分油问题是一个古老的益智问题：大桶里有10 kg油，现有大小两个瓶子，大瓶能装7 kg油，小瓶能装3 kg油。没有其他量具，如何把10 kg油平分成两个5 kg油？如果将桶中的油量改成16 kg，大、小空瓶的容量改成12 kg和7 kg，证明它不能分出两个8 kg油。

这个问题的求解方法有多种，下面介绍的是用“状态转移”的数学模型来求解的过程。建模的过程是这样的：我们用二维数组（x，y）表示大、小瓶装油的“状态”，其中x，y分别表示大、小瓶中的油量，单位是“kg”。“容许状态”是（x，y）：0≤x≤7；0≤y≤3。

状态容许区域示意图图1所示的区域就是“容许状态”的分布区域。下面我们把倒油的操作与“容许状态”的分布区域中的变化，做如下对应的描述（图2和图3）：(www.daowen.com)

图　1

（1）桶向大瓶里倒k kg油：（x，y）→（x＋k，y），相当于水平右移k格，k≤7。

（2）大瓶向桶里倒k kg油：（x，y）→（x－k，y），相当于水平左移k格，k≤7。

（3）桶向小瓶里倒k kg油：（x，y）→（x，y＋k），相当于竖直上移k格，k≤3。

（4）小瓶向桶里倒k kg油：（x，y）→（x，y－k），相当于竖直下移k格，k≤3。

（5）大瓶向小瓶里倒k kg油：（x，y）→（x－k，y＋k），相当于沿135°的方向，向左上方移过k行，k≤3。

图　2

图　3

（6）小瓶向大瓶里倒k kg油：（x，y）→（x＋k，y－k），相当于沿－45°的方向，向右下方移过k行，k≤3。