一节课的游戏活动，有的学习小组取得了比较满意的结果，有的只获得了几种特殊情形的结果！为让学生有充分时间思考，我请学生课后以“‘汉诺塔游戏’活动的实践与感悟”为主题，撰写数学小论文，再择期交流，收到较好效果。现结合教师思考，整理如下。

1．注重问题设计，引领学生探究

问题是学生数学思维的起点，问题1～10环环相扣，层层深入，连接紧密，易于推动学生操作，在操作中思考，在思考中感悟数学思想方法。游戏活动在遵循学生自主探究原则的同时，需不需要教师指导，如何指导，何时指导，如何表示移动步骤，如何撰写数学小论文，用“数学的方式”思考？笔者认为，数学认知活动，学生独立思考无法替代，教师的必要指导同样不可缺少，尤其当学生的认知陷入“困境”时，教师更应及时跟进。如游戏开始，多数学生直接用10个圆盘做实验，这样不易得出正确结果，很快就有同学不想玩了，教师设计问题序列，引导学生探究，才能使活动深入开展！

2．观察操作结果，猜测数字规律

709班高雅同学：1个圆盘要移1次，2个圆盘要移3次，3个圆盘要移7次，4个圆盘要移15次，5个圆盘要移31次。收集的数据是不是蕴含着某种规律呢？为了证明我的大胆猜测，我试着移动6个圆盘。正当这时，老师出现在我旁边，问我：“好了没？既然好了，完成了5个圆盘，就不必继续实验，静静地思考，你一定会有所发现。”我冷静下来，再次打量并默念面前的数据，猛地发现，好像前一个数乘2加1就算出了后一个数！领悟至此，我拿起笔运算起来，10个圆盘竟然需要移动1 023次，结果让我震惊！难怪汪老师不让我继续往后实验，是有原因的，待我长发及腰，都未必能解开这个谜。数学，竟是如此深奥而让人难以捉摸。

710班吴宗翰同学：后面的同学提示我可从个数较少的圆盘尝试找规律，解开这道难题。我用数字表示圆盘，开始移动，发现n个圆盘需（2n－1）步。根据这个规律，10个圆盘需要移动210－1＝1 023步。小小的10个圆盘竟要移动上千步，让人在游戏中增长智慧。

点评：两位同学的小论文写出了自己的真切感受、实验的过程及心理反应，有时迷茫，有时困惑，有时顿悟，有时喜悦。

3．描述移动方式，体现步骤次数

710班张宏铉同学：我用“①→C”表示将第①个圆盘移至C柱上，既可以明确次数，又可以分清步骤。1个圆盘：①→C，总计1次。2个圆盘：①→B，②→C，①→C，总计3次。3个圆盘：①→C，②→B，①→B，③→C，①→A，②→C，①→C，总计7次。4个圆盘总计15次。实验完4个圆盘，依旧没发现显著规律，便继续实验。5个圆盘实验先是36次，我觉得不对，因为前4个的次数都是奇数，便又算了一遍发现是32次，便觉得奇怪，就没有往后算了，开始找规律。我先用乘法规律，2个圆盘用的次数是1个圆盘所用次数的3倍，3个圆盘

用的次数是2个圆盘所用次数的，4个圆盘用的次数是3个圆盘所用次数的，我越来越觉得想法不对，便用加法规律算了起来。第1、2个圆盘相差2次，第2、3个圆盘相差4次，第3、4个圆盘相差8次，我发现这3个数分别是21，22，23；又发现1，3，7，15分别是2－1，22－1，23－1，24－1，25－1，…，这时我找到了规律，算出答案1 023。

点评：张同学写出了探究规律的做法和猜想规律的心路历程。

4．提炼移动规律，递归转化萌芽

710班王嘉慧同学：1个圆盘，1次就行，记A1＝1。

2个圆盘，分3步：

（1）将A最上面的一个圆盘移到B上，这个就是上面一个圆盘的情况，即A1次。

（2）将A最下面的圆盘移到C上，1次就好。

（3）将B的所有圆盘（1个），移到C上面，即A1次，也就是A2＝2A1＋1＝3＝22－1。

3个圆盘，分3步：

（1）将A最上面的2个圆盘移到B上，即A2次。

（2）将A最下面的圆盘移到C上，1次就好。

（3）将B的所有圆盘（2个），移到C上面，即A2次，也就是A3＝2A2＋1＝7＝23－1。

n个圆盘，分3步：

（1）将A上面的（n－1）个圆盘移到B上，即An－1次。

（2）将A最下面的圆盘移到C上，1次就好。

（3）将B的所有圆盘［（n－1）个］，移到C上面，即An－1次，也就是An＝2An－1＋1＝2n－1。

点评：王同学数学语言功底很强，利用“数学的方式”清晰严谨地表达出本小组的实验结果，为同学们树立了很好的榜样，是篇高质量的数学小论文。

710班罗睿琦同学：我实验得出每次移动步数是上一次移动步数的2倍加1，10个圆盘需移动1 023步。为证实猜想，我用标上号的练习本做实验，发现每次移动，都会出现和上一圆盘数相近的状况，如：2个圆盘时，会出现一个柱子上有①盘，另一个柱子上有②盘；3个圆盘时，会出现一个柱子上有①②盘，另一个柱子上有③盘；4个圆盘时，会出现一个柱子上有①②③盘，而另一个柱子上有④盘。这是什么呢？这不就说明只要不停地还原上一次的情况，再按照上一次的步骤进行操作，就能得出结论，这不仅证实了我们小组的猜想，还告诉了我们数学的精华：把新问题经过分析，用旧的知识解决。这不就是老师和我们常说的“转化”吗？化新为旧，化难为易，原来老师“醉翁之意不在酒”呀！

点评：罗同学关注前后次数之间的联系，利用相邻次数之间的联系找出规律，“递归”出10个圆盘时的移动次数。类似发现的同学还有葛艺菲、杨宇骁、凌心仪、王艺涵、张瀚文等。

“从最简单的做起”（波利亚语）对学生犹如醍醐灌顶，当学生意识到移动N个圆盘都要重复移动（N－1）个圆盘2次，教师点拨这就是典型的“数学的思维方式”——转化、化归，“高大上”的数学思想方法通过具体的例子“注入”了学生的“心田”，“递归”“转化”的思想在学生头脑中“萌芽”！

5．把握引导时机，选定引导方法

学习数学、研究数学令人困惑也最引人入胜的环节之一，就是如何发现？怎样证明？特别是对初学者尤其如此。当学生用10个圆盘实验思维混乱时，教师提示可减少圆盘数量进行实验，逐渐增加圆盘数量，再观察移动规律；当学生实验得出结果后，教师可引导学生用书面的方式描述移动步骤，观察移动方式是否唯一，思考有无规律。如10个圆盘需要移动1 023步，每一步如何移动；如何在很短的时间内完成，这就需要一个简单易行的操作规则，这个操作规则有何规律。笔者请710班杨宇骁按照张宏铉同学的方法分别表示出圆盘3～6的移动步骤，我们又有了新的发现。(www.daowen.com)

（1）当A柱上有3个圆盘时，圆盘从上到下依次记为1，2，3，操作步骤如下：

点评：分成2行，4列，见下表。

移动步骤如下：1号圆盘：（A→）C→B→A→C（共4次）。2号圆盘：（A→）B→C（共2次）。3号圆盘：（A→）C（共1次）。

（2）当A柱上有4个圆盘时，圆盘从上到下依次记为1，2，3，4，操作步骤如下：

点评：分成4行，4列，见下表。

移动步骤如下：1号圆盘：（A→）B→C→A→B→C→A→B→C（共8次）。2号圆盘：（A→）C→B→A→C（共4次）。3号圆盘：（A→）B→C（共2次）。4号圆盘：（A→）C（共1次）。

（3）当A柱上有5个圆盘时，圆盘从上到下依次记为1，2，3，4，5，操作步骤如下：

点评：分成8行，4列，见下表。

移动步骤如下：1号圆盘：（A→）C→B→A→C→B→A→…→C→B→A→C（共16次）。2号圆盘：（A→）B→C→A→B→C→A→B→C（共8次）。3号圆盘：（A→）C→B→A→C（共4次）。4号圆盘：（A→）B→C（共2次）。5号圆盘：（A→）C（共1次）。

（4）当A柱上有6个圆盘时，圆盘从上到下依次记为1，2，3，4，5，6，操作步骤如下：

点评：分成16行，4列，见下表。

移动步骤如下：1号圆盘：（A→）B→C→A→B→C→A→…→B→C→A→B→C（共32次）。2号圆盘：（A→）C→B→A→…→C→B→A→C（共16次）。3号圆盘：（A→）B→C→A→B→C→A→B→C（共8次）。4号圆盘：（A→）C→B→A→C（共4次）。5号圆盘：（A→）B→C（共2次）。6号圆盘：（A→）C（共1次）。

笔者借助网络搜索发现：一位美国学者给出一种“出人意料”的简单方法，只要轮流进行两步操作就可以了。首先把3根柱子按顺序排成品字形，把所有的圆盘按顺序放在A柱上，根据圆盘的数量确定柱子的排放顺序。若n为偶数，按顺时针方向依次摆放A，B，C柱；若n为奇数，按顺时针方向依次摆放A，C，B柱。

（1）按顺时针方向把圆盘1从现在的柱子移动到下一根柱子，即当n为偶数时，若圆盘1在柱子A上，则把它移动到B上；若圆盘1在柱子B上，则把它移动到C上；若圆盘1在柱子C上，则把它移动到A上。

（2）接着，把另外两根柱子上可以移动的圆盘移动到新的柱子上。即把非空柱子上的圆盘移动到空柱子上，当两根柱子都非空时，移动较小的圆盘。这一步没有明确规定移动哪个圆盘，你可能以为会有多种可能性，其实不然，可实施的行动是唯一的。

（3）反复进行（1）（2）操作，最后就能按规则完成汉诺塔的移动。所以结果非常简单，就是按照移动规则向一个方向移动圆盘。如3阶汉诺塔的移动：A→C，A→B，C→B，A→C，B→A，B→C，A→C。

参照规律操作，容易成功。可为什么是这样的规律？如何发现这样的规律？如何让学生也能够发现规律？设置什么样的问题引导学生操作思考，才能一步步地引导他们“自主”发现？杨同学的操作很好地回答了这些问题！

6．盘点游戏收获，感悟数学思考

结论1：当圆盘总个数是奇数时，圆盘从上到下（从小到大）依次记为1，2，3，…，奇数号圆盘按C→B→A逆时针顺序移动，偶数号圆盘按A→B→C顺时针顺序移动；当圆盘总个数是偶数时，奇数号圆盘按A→B→C顺时针顺序移动，偶数号圆盘按C→B→A逆时针顺序移动。

结论2：若A柱上有n只圆盘，则把它们从A柱全部移至C柱的最少次数为2n－1。

结论3：当n＝2k＋1时，若以2n－1次移动将n只圆盘由A柱全部移至C柱，则第一步必为A→C。

结论4：当n＝2k时，若以2n－1次移动将n只圆盘由A柱全部移至C柱，则第一步必为A→B。

由结论3，4可知，对于任意正整数n，以最少移动次数2n－1实现“汉诺塔游戏”的第一步是唯一确定的，事实上，在以最少移动次数实现“汉诺塔游戏”时，每一步都是唯一确定的，因此有：

结论5：第k层上的圆盘最少需移动ak＝2m－k次（k＝1，2，…，m）。

结论6：以最少移动次数实现“汉诺塔问题”的方案是唯一的。

7．发挥团队优势，合作交流探究

合作学习能培养学生的合作意识和团队精神，开展合作学习不仅是学生发展的需要，也是“综合与实践”活动课的特点决定的。根据教学目标和活动主题，学生自主探索与小组合作相结合，充分发挥合作学习的优势，提高活动的有效性。小组的划分可根据学生的兴趣自愿进行，人数在3～5人时效果较好。

709班傅庚韬同学：我们小组用不同颜色的笔来代替10个圆盘，但是10个圆盘肯定不那么好移。组员张子昂提出先从1个圆盘开始试，再往后递增，我们表示赞同。1个圆盘是1次，2个是3次，3个是7次，可当我们试到4个的时候却不确定对不对了。第一次试出来的是17，第二次是15。我们只好用15来找规律。但是我们一个人都没发现，当我以为是步骤错了的时候，组员金奕然发现，每一个次数都是前一个的2倍再加上1。正当我们高兴的时候，我却发现了一个问题：如果想知道10个的次数，就得知道9个的次数，想知道9个，就要知道8个，也就是说必须从1开始，一直算到10。如果圆盘数量很大，岂不是太难算了？我把这个问题提了出来，大家又开始纠结了。这时，金奕然说：“1和3之间差2，3和7之间差4……”我听了后发现第n个数和之前的数的差是2的n次方，叠加后发现是2n－1！

点评：该小组通力合作，有的出点子，有的动手操作，有的写论文，真真切切地写出了活动中每个人的所思所想，写出了是如何一步一步发现结论的。